43. 字符串相乘

题目

给定两个以字符串形式表示的非负整数 num1 和 num2，返回 num1 和 num2 的乘积，它们的乘积也表示为字符串形式。

示例 1:输入: num1 = "2", num2 = "3"

输出: "6"

示例 2:输入: num1 = "123", num2 = "456"

输出: "56088"

说明：num1 和 num2 的长度小于110。

num1 和 num2 只包含数字 0-9。

num1 和 num2 均不以零开头，除非是数字 0 本身。

不能使用任何标准库的大数类型(比如 BigInteger)或直接将输入转换为整数来处理。

解题思路

思路：竖式运算

首先审题，题目要求的是乘积，那么我们可以模拟竖式乘法来计算乘积。

这里先要注意一种情况，当 num1 和 num2 任意一个为 0 时，直接返回 0。

如果 num1 和 num2 都不为 0，那么我们可以遍历 num2 每一位和 num1 进行相乘，然后将每次相乘的结果进行累加。(这其实就是我们竖式乘法运算的思想)如下图示：

之前我们曾遇到过 415. 字符串相加，我们在后续的累加的部分可以直接使用此题的思想。还有一个需要注意的，除了 num2 最低位与 num1 的运算除外，其他位与 num1 的乘积都应该补 0。

具体代码实现见【代码实现 # 竖式运算】

在上面的算法中，需要对每步计算计算的字符串进行相加的过程，多次对字符串进行操作，会消耗性能。

在这里，我们对竖式运算进行优化，我们采用数组代替字符串存储结果，避免频繁操作字符串。

先看题目后面的说明中，第 2、3 条说明 num1 和 num2 不存在前导 0 的情况，并且 num1 和 num2 中每位数只包含 0 到 9 之间的数字。在这里，我们根据这个来确定定义数组的长度。

我们知道，(自然数中)只有 1 位的数字最小的是 0，最大为 9。两位数最小的是 10，最大的是 99。我们可以发现，这里是有规律的。假设 n 为数字位数，那么当 n = 1 时，最小数字为 $0=10^{0}$，最大数字为 $9 = 10^{1}-1$；当 n = 2 时，最小数字为 $10 = 10^{2-1}$，最大数字为 $99 = 10^{2}-1$。也就说，当 n 取大于 0 的数(正整数)时，n 位数最小数为 $10^{n-1}$，最大数为 $10^{n} - 1$。

现在我们假设，N1、N2 分别为 num1 和 num2 的长度。这里看 num1 和 num2 分别去最小值和最大值时可能的长度。当 $\rm{num1}$ 和 $\rm{num2}$ 取最小值时，也就是 $\rm{num1}= 10^{N1-1}, \rm{num2}= 10^{N2-1}$，那么两者的乘积 $\rm{num1} \times \rm{num2}= 10^{N1+N2-2}$，也就说此时乘积的长度为 $N1+N2-1$；

当 $\rm{num1}$ 和 $\rm{num2}$ 取最大值时，也就是 $\rm{num1}= 10^{N1}-1, \rm{num2}= 10^{N2}-1$，那么两者的乘积 $\rm{num1} \times \rm{num2}= 10^{N1+N2} - 10^{N1}-10^{N2}+1$，这里我们可以发现，两者的乘积是介于 [$10^{N1+N2-1}$, $10^{N1+N2}$] 之间的。也就说长度为 $N1+N2$

在这里，两数相乘的最大长度为两数长度之和。那么定义数组 ans 长度为 len(num1)+len(num2)。对于任意 $0\leq i

具体代码见【代码实现 # 竖式运算(优化)】

代码实现# 竖式运算

class Solution:

def multiply(self, num1: str, num2: str) -> str:

if num1 == '0' or num2 == '0':

return '0'

ans = '0'

N1, N2 = len(num1), len(num2)

# 从后往前遍历 num2，与 num1 相乘

for i in range(N2-1, -1, -1):

carry = 0

k = int(num2[i])

# 补充 0

curr = ['0'] * (N2-i-1)

for j in range(N1-1, -1, -1):

product = int(num1[j]) * k + carry

carry = product // 10

curr.append(str(product%10))

# 确认 carry 是否不为 0，不为 0 则补充在最高位

if carry != 0:

curr.append(str(carry))

# 形成字符串，放入下列求和方法中

curr = ''.join(curr[::-1])

ans = self.addStrings(ans, curr)

return ans

def addStrings(self, num1: str, num2: str) -> str:

# 用以存储计算结果

ans = []

# 定义指针分别指向 num1, num2 末尾

p = len(num1) - 1

q = len(num2) - 1

# 存储进位

carry = 0

# 模拟加法运算

# 这里将 carry 放到条件中，是考虑后续计算结束后，还有进位，也就是 carry 为 1 的情况

while p >= 0 or q >= 0 or carry:

# 由于有可能出现索引溢出的现象，

# 当较短的字符串索引溢出时，要在头部添加 0，用以后续计算

elem1 = int(num1[p]) if p >= 0 else 0

elem2 = int(num2[q]) if q >= 0 else 0

# 模拟计算，注意加上进位

tmp = elem1 + elem2 + carry

# 相加结果可能大于 10

# 计算进位，并且就将结果模 10，余数添加到 ans 头部

carry = tmp // 10

# ans = str(tmp % 10) + ans

ans.append(str(tmp % 10))

# 往前继续计算

p -= 1

q -= 1

return ''.join(ans[::-1])

# 竖式运算(优化)

class Solution:

def multiply(self, num1: str, num2: str) -> str:

if num1 == "0" or num2 == "0":

return "0"

N1, N2 = len(num1), len(num2)

ans = [0] * (N1+N2)

for i in range(N1-1, -1, -1):

a = int(num1[i])

for j in range(N2-1, -1, -1):

b = int(num2[j])

tmp = ans[i+j+1] + a * b

ans[i+j] += tmp // 10

ans[i+j+1] = tmp % 10

# 文章分析了取值为最小最大时，两数乘积的长度为 N1 + N2 - 1 和 N1 + N2

# 这里注意数组中首元素

ans = ans[1:] if ans[0] == 0 else ans

return ''.join(str(x) for x in ans)

实现结果

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