说到神经网络，大家看到这个图应该不陌生：

　　这是典型的三层神经网络的基本构成，Layer L1是输入层，Layer L2是隐含层，Layer L3是隐含层，我们现在手里有一堆数据{x1,x2,x3,...,xn},输出也是一堆数据{y1,y2,y3,...,yn},现在要他们在隐含层做某种变换，让你把数据灌进去后得到你期望的输出。如果你希望你的输出和原始输入一样，那么就是最常见的自编码模型（Auto-Encoder）。可能有人会问，为什么要输入输出都一样呢？有什么用啊？其实应用挺广的，在图像识别，文本分类等等都会用到，我会专门再写一篇Auto-Encoder的文章来说明，包括一些变种之类的。如果你的输出和原始输入不一样，那么就是很常见的人工神经网络了，相当于让原始数据通过一个映射来得到我们想要的输出数据，也就是我们今天要讲的话题。

　　本文直接举一个例子，带入数值演示反向传播法的过程，公式的推导等到下次写Auto-Encoder的时候再写，其实也很简单，感兴趣的同学可以自己推导下试试：）（注：本文假设你已经懂得基本的神经网络构成，如果完全不懂，可以参考Poll写的笔记：[Mechine Learning & Algorithm] 神经网络基础 ）

　　假设，你有这样一个网络层：

　　第一层是输入层，包含两个神经元i1，i2，和截距项b1；第二层是隐含层，包含两个神经元h1,h2和截距项b2，第三层是输出o1,o2，每条线上标的wi是层与层之间连接的权重，激活函数我们默认为sigmoid函数。

　　现在对他们赋上初值，如下图：

　　其中，输入数据  i1=0.05，i2=0.10;

　　　　　输出数据 o1=0.01,o2=0.99;

　　　　　初始权重  w1=0.15,w2=0.20,w3=0.25,w4=0.30;

　　　　　　　　　  w5=0.40,w6=0.45,w7=0.50,w8=0.55

　　目标：给出输入数据i1,i2(0.05和0.10)，使输出尽可能与原始输出o1,o2(0.01和0.99)接近。

　　Step 1 前向传播

　　1.输入层---->隐含层：

　　计算神经元h1的输入加权和：

神经元h1的输出o1:(此处用到激活函数为sigmoid函数)：

　　同理，可计算出神经元h2的输出o2：

　　

　　2.隐含层---->输出层：

　　计算输出层神经元o1和o2的值：

　　

这样前向传播的过程就结束了，我们得到输出值为[0.75136079 , 0.772928465]，与实际值[0.01 , 0.99]相差还很远，现在我们对误差进行反向传播，更新权值，重新计算输出。

Step 2 反向传播

1.计算总误差

总误差：(square error)

但是有两个输出，所以分别计算o1和o2的误差，总误差为两者之和：

2.隐含层---->输出层的权值更新：

以权重参数w5为例，如果我们想知道w5对整体误差产生了多少影响，可以用整体误差对w5求偏导求出：（链式法则）

下面的图可以更直观的看清楚误差是怎样反向传播的：

现在我们来分别计算每个式子的值：

计算：

计算：

（这一步实际上就是对sigmoid函数求导，比较简单，可以自己推导一下）

计算：

最后三者相乘：

这样我们就计算出整体误差E(total)对w5的偏导值。

回过头来再看看上面的公式，我们发现：

为了表达方便，用来表示输出层的误差：

因此，整体误差E(total)对w5的偏导公式可以写成：

如果输出层误差计为负的话，也可以写成：

最后我们来更新w5的值：

（其中，是学习速率，这里我们取0.5）

同理，可更新w6,w7,w8:

3.隐含层---->隐含层的权值更新：

　方法其实与上面说的差不多，但是有个地方需要变一下，在上文计算总误差对w5的偏导时，是从out(o1)---->net(o1)---->w5,但是在隐含层之间的权值更新时，是out(h1)---->net(h1)---->w1,而out(h1)会接受E(o1)和E(o2)两个地方传来的误差，所以这个地方两个都要计算。

计算：

先计算：

同理，计算出：

　　　　　　　　　　

两者相加得到总值：

再计算：

再计算：

最后，三者相乘：

为了简化公式，用sigma(h1)表示隐含层单元h1的误差：

最后，更新w1的权值：

同理，额可更新w2,w3,w4的权值：

　　这样误差反向传播法就完成了，最后我们再把更新的权值重新计算，不停地迭代，在这个例子中第一次迭代之后，总误差E(total)由0.298371109下降至0.291027924。迭代10000次后，总误差为0.000035085，输出为[0.015912196,0.984065734](原输入为[0.01,0.99]),证明效果还是不错的。

原文与作者：Charlotte77

http://www.cnblogs.com/charlotte77/p/5629865.html