2.4 矩阵乘以矩阵定义

矩阵乘以矩阵

乘法定义

进一步分析基变换关系， nnn 维空间中任意向量 x=a1v1+⋯+anvn\mathbf{x}=a_1\mathbf{v_1}+\cdots+a_n\mathbf{v_n}x=a1v1+⋯+anvn ，用矩阵乘以向量表示为 x=Va\mathbf{x} = V\mathbf{\mathbf{a}}x=Va ，矩阵 VVV 由 nnn 维空间中基构成，称为基矩阵， nnn 维向量 a\mathbf{a}a 是表示向量。变换为 mmm 维空间的向量 y=a1w1+⋯+anwn\mathbf{y} = a_1\mathbf{w_1}+\cdots+a_n\mathbf{w_n}y=a1w1+⋯+anwn ，用矩阵乘以向量表示为 y=Wa\mathbf{y} = W\mathbf{a}y=Wa ，矩阵 WWW 由基变换向量组构成，称为基象矩阵。
x=Vay=Axy=WaA(Va)=Wa\mathbf{x} = V\mathbf{a} \\ \mathbf{y} = A\mathbf{x} \\ \mathbf{y} = W\mathbf{a} \\ \\ A(V\mathbf{a}) = W\mathbf{a} x=Vay=Axy=WaA(Va)=Wa
对任意 nnn 维向量 a\mathbf{a}a 均成立。

如何理解最后一个等式？A(Va)A(V\mathbf{a})A(Va) 是变换矩阵 VVV 先把向量 a\mathbf{a}a 变换为向量 x\mathbf{x}x ，然后变换矩阵 AAA 把向量 x\mathbf{x}x 变换为向量 y\mathbf{y}y ；WaW\mathbf{a}Wa 是变换矩阵 WWW 把向量 a\mathbf{a}a 变换为向量 y\mathbf{y}y ，等式对任意向量 a\mathbf{a}a 均成立！这表明矩阵 A,VA, VA,V 两次变换的总效果和矩阵 WWW 一次变换效果一样。从变换角度看，矩阵 WWW 与矩阵 A,VA, VA,V 等价。形式上 A(Va)A(V\mathbf{a})A(Va) 类似代数乘法，故定义为矩阵乘法。根据基变换关系，积矩阵 WWW 的每个向量为 (w1=Av1,⋯,wn=Avn)(\mathbf{w_1}=A\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{w_n}=A\mathbf{v_n})(w1=Av1,⋯,wn=Avn) 。

定义矩阵乘法任意矩阵 AAA 乘以基矩阵 VVV ，AV=[Av1,⋯,Avn]=WAV=\left[ A\mathbf{v_1},\cdots,A\mathbf{v_n} \right]=WAV=[Av1,⋯,Avn]=W ，其中向量 vi\mathbf{v_i}vi 为基矩阵 VVV 的第 iii 个向量。

几何意义是，积矩阵 WWW 、矩阵 AVAVAV 对任意向量的变换相等。

重要性质 A(Va)=Wa=(AV)aA(V\mathbf{a}) = W\mathbf{a} = (AV)\mathbf{a}A(Va)=Wa=(AV)a 。

两个矩阵相乘，必须满足形状要求，因为矩阵乘以向量，要求向量维度等于矩阵的列数，所以矩阵 AmnA_{mn}Amn 与矩阵 VnnV_{nn}Vnn 相乘，矩阵 AAA 的列数（nnn）必须等于矩阵 VVV 的行数（nnn），积矩阵的尺寸为 WmnW_{mn}Wmn 。

矩阵乘法，还可以从矩阵乘以向量角度观察，AV=A[v1,⋯,vn]=[Av1,⋯,Avn]AV=A\left[ \mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{v_n} \right]=\left[ A\mathbf{v_1},\cdots,A\mathbf{v_n} \right]AV=A[v1,⋯,vn]=[Av1,⋯,Avn] ，即矩阵 AAA 乘以基矩阵 VVV 每个向量，这种看法有助于记忆矩阵乘法，和化简矩阵乘法有关的表达式。

重要性质 AV=A[v1,⋯,vn]=[Av1,⋯,Avn]AV=A\left[ \mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{v_n}\right]=\left[A\mathbf{v_1},\cdots,A\mathbf{v_n} \right]AV=A[v1,⋯,vn]=[Av1,⋯,Avn] .

上面定义矩阵乘法，要求矩阵 VVV 为基矩阵，如果是任意向量组构成的矩阵，怎么定义矩阵乘法呢？有两种方法，结果相同。

第一种方法方便记忆，就是对基矩阵乘法的推广，利用 AV=A[v1,⋯,vn]=[Av1,⋯,Avn]AV=A\left[ \mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{v_n}\right]=\left[ A\mathbf{v_1},\cdots,A\mathbf{v_n}\right]AV=A[v1,⋯,vn]=[Av1,⋯,Avn] ，把向量 vi\mathbf{v_i}vi 看成任意向量，数量也任意。

第二种方法，和基矩阵看法一样，即把矩阵 BBB 的向量组看成空间的生成向量。令变换矩阵 AmnA_{mn}Amn 把 nnn 维空间中向量组 Bnp=(b1,⋯,bp)B_{np} = (\mathbf{b_1},\cdots,\mathbf{b_p})Bnp=(b1,⋯,bp) ，变换为 mmm 维空间中 ppp 个向量 (w1=Ab1,⋯,wp=Abp)(\mathbf{w_1}=A\mathbf{b_1},\cdots,\mathbf{w_p}=A\mathbf{b_p})(w1=Ab1,⋯,wp=Abp) ，则向量组 BnpB_{np}Bnp 张开的子空间中任意向量 a1b1+⋯+apbpa_1\mathbf{b_1}+\cdots+a_p\mathbf{b_p}a1b1+⋯+apbp ，矩阵 AmnA_{mn}Amn 把其变换为 mmm 维空间的向量
A(Ba)=A(a1b1+⋯+apbp)=a1Ab1+⋯+apAbp=a1w1+⋯+apwp=Wa得W=AB=[Ab1,⋯,Abp]A(B\mathbf{a})= A(a_1\mathbf{b_1}+\cdots+a_p\mathbf{b_p}) = a_1A\mathbf{b_1}+\cdots+a_pA\mathbf{b_p} \\ = a_1\mathbf{w_1}+\cdots+a_p\mathbf{w_p} \\ = W\mathbf{a} \\ 得 \quad W = AB = \left[ A\mathbf{b_1},\cdots,A\mathbf{b_p}\right] A(Ba)=A(a1b1+⋯+apbp)=a1Ab1+⋯+apAbp=a1w1+⋯+apwp=Wa得W=AB=[Ab1,⋯,Abp]

定义矩阵乘法任意矩阵 AAA 乘以任意矩阵 BBB ，AB=[Ab1,⋯,Abp]AB=\left[ A\mathbf{b_1},\cdots,A\mathbf{b_p}\right]AB=[Ab1,⋯,Abp] ，其中向量 bi\mathbf{b_i}bi 为矩阵 BBB 的第 iii 个向量。

即矩阵 AAA 乘以矩阵 BBB 每个向量。

重要性质 任意两个矩阵相乘，必须满足形状要求，因为矩阵乘以向量，要求向量维度等于矩阵的列数，所以矩阵 AmnA_{mn}Amn 与矩阵 BnpB_{np}Bnp 相乘，矩阵 AAA 的列数（nnn）必须等于矩阵 BBB 的行数（nnn），积矩阵的尺寸为 WmpW_{mp}Wmp 。

定义方阵矩阵的行数等于列数时，矩阵称为方阵。

定义 nnn 阶方阵行数为 nnn 的方阵。

重要性质 矩阵自身相乘时，根据形状要求，矩阵 AAA 必须为方阵，即 AnnAnn=BnnA_{nn}A_{nn}=B_{nn}AnnAnn=Bnn 。

例如：
A=[0213]B=[4657]Ab1=[0213][45]=[0∗4+2∗51∗4+3∗5]=[1019]Ab2=[0213][67]=[0∗6+2∗71∗6+3∗7]=[1427]AB=[Ab1,Ab2]=[10141927]A= \left[ \begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right] \quad B =\left[ \begin{matrix} 4 & 6 \\ 5 & 7 \end{matrix} \right] \\ A\mathbf{b_1}= \left[ \begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 4 \\ 5 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 0*4 + 2*5 \\ 1*4 + 3*5 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 10 \\ 19 \end{matrix} \right] \\ A\mathbf{b_2}= \left[ \begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 6 \\ 7 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 0*6 + 2*7 \\ 1*6 + 3*7 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 14 \\ 27 \end{matrix} \right] \\ AB=\left[ A\mathbf{b_1},A\mathbf{b_2}\right]= \left[ \begin{matrix} 10 & 14 \\ 19 & 27 \end{matrix} \right] A=[0123]B=[4567]Ab1=[0123][45]=[0∗4+2∗51∗4+3∗5]=[1019]Ab2=[0123][67]=[0∗6+2∗71∗6+3∗7]=[1427]AB=[Ab1,Ab2]=[10191427]
可见，矩阵乘法运算量很大，小型（m,n<4m,n<4m,n<4）矩阵还勉强可以手算。矩阵运算基本都靠计算机，读者工作中千万不要手算，慢且极容易出错。