学习手记(2018/7/14~2018/7/18)—

2018/7/14：普通的纪中一天

儿子兄弟表示法

将一颗多叉树转换为二叉树的方法，左子节点连原树的第一个儿子，右子节点连原树的右边的兄弟

适用范围：树形dp

数位dp常见方法

状态压缩

分类讨论
记忆法（记忆化搜索）

手推exgcd

ax+by=gcd(a,b)ax+by=gcd(a,b)ax+by=gcd(a,b)
bx′+(a%b)y′=gcd(b,a%b)bx'+(a\%b)y'=gcd(b,a\%b)bx′+(a%b)y′=gcd(b,a%b)
展开(a%b)(a\%b)(a%b)
bx′+(a−⌊a/b⌋b)y′=gcd(b,a%b)bx'+(a-\lfloor a/b\rfloor b)y'=gcd(b,a\%b)bx′+(a−⌊a/b⌋b)y′=gcd(b,a%b)
拆开括号
bx′+ay′−⌊a/b⌋by′=gcd(b,a%b)bx'+ay'-\lfloor a/b\rfloor by'=gcd(b,a\%b)bx′+ay′−⌊a/b⌋by′=gcd(b,a%b)
将aaa和bbb取出
ay′+b(x′−⌊a/b⌋y′)=gcd(b,a%b)ay'+b(x'-\lfloor a/b\rfloor y')=gcd(b,a\%b)ay′+b(x′−⌊a/b⌋y′)=gcd(b,a%b)
∵gcd(a,b)=gcd(b,a%b)\because gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)∵gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
∴ay′+b(x′−⌊a/b⌋y′)=ax+by\therefore ay'+b(x'-\lfloor a/b\rfloor y')=ax+by∴ay′+b(x′−⌊a/b⌋y′)=ax+by
将两边的aaa和bbb取出
y′+(x′−⌊a/b⌋y′)=x+yy'+(x'-\lfloor a/b \rfloor y')=x+yy′+(x′−⌊a/b⌋y′)=x+y
然后由于两边是等价的
∴{x=y′y=(x′−⌊a/b⌋y′)\therefore \left\{\begin{matrix} x=y' \\ y=(x'-\lfloor a/b \rfloor y') \end{matrix}\right. ∴{x=y′y=(x′−⌊a/b⌋y′)

2018/7/16：腐败普通的纪中一天

gcd证明

我们设d=gcd(a,b)我们设d=gcd(a,b)我们设d=gcd(a,b)
∵d∣a,d∣b\because d\mid a,d\mid b∵d∣a,d∣b
∴d∣a%b\therefore d\mid a\%b∴d∣a%b
设gcd(b,a%b)=d′设gcd(b,a\%b)=d'设gcd(b,a%b)=d′
∵d′∣b,d′∣a%b\because d'\mid b,d'\mid a\%b∵d′∣b,d′∣a%b
∴d′∣a\therefore d'\mid a∴d′∣a
gcd(a,b)=gcd(b,a%b)gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

2018/7/17：颓废普通的纪中一天

时间复杂的与数据范围

n⩽15：O(2n)n\leqslant 15\ \ \ ：\ \ \ O(2^n)n⩽15   ：   O(2n)
n⩽70：O(n4)n\leqslant 70\ \ \ ：\ \ \ O(n^4)n⩽70   ：   O(n4)
n⩽500：O(n3)n\leqslant 500\ \ \ ：\ \ \ O(n^3)n⩽500   ：   O(n3)
n⩽5000：O(n2)n\leqslant 5000\ \ \ ：\ \ \ O(n^2)n⩽5000   ：   O(n2)
n⩽104：O(nn)n\leqslant 10^4\ \ \ ：\ \ \ O(n\sqrt n)n⩽104   ：   O(nn)
n⩽105：O(n(logn)2)n\leqslant 10^5\ \ \ ：\ \ \ O(n\ \ (log\ n)^2)n⩽105   ：   O(n  (log n)2)
n⩽5∗105：O(nlogn)n\leqslant 5*10^5\ \ \ ：\ \ \ O(n\ \ log\ n)n⩽5∗105   ：   O(n  log n)
n⩽106：O(nloglogn)n\leqslant 10^6\ \ \ ：\ \ \ O(n\ \ log\ log\ n)n⩽106   ：   O(n  log log n)
n⩽5∗106：O(n)n\leqslant 5*10^6\ \ \ ：\ \ \ O(n)n⩽5∗106   ：   O(n)
n⩽2147483647：O(n)n\leqslant 2147483647\ \ \ ：\ \ \ O(\sqrt n)n⩽2147483647   ：   O(n)
n⩽max_longlong：O(logn)n\leqslant max\_longlong\ \ \ ：\ \ \ O(log\ n)n⩽max_longlong   ：   O(log n)

2018/7/18：罕见正常的纪中一天

gcd的和之一

∑i=1ngcd(n,i)\sum_{i=1}^n gcd(n,i)i=1∑ngcd(n,i)
===
∑d∣nφ(n/d)×d\sum_{d|n} \varphi(n/d)\times dd∣n∑φ(n/d)×d
证明与例题：https://blog.csdn.net/mr_wuyongcong/article/details/81104903