正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF622F

题目大意

给出n,kn,kn,k，求
∑i=1nik\sum_{i=1}^ni^ki=1∑nik

解题思路

很经典的拉格朗日差值问题
这个东西显然是可以化成一个k+1k+1k+1次的多项式的，所以我可以直接代k+2k+2k+2个点插出值来。看到顺眼先把n,kn,kn,k互换一下。
先上一个要刻在DNADNADNA里的公式f(k)=∑i=1nyi∏j=1,j≠inxj−kxi−xjf(k)=\sum_{i=1}^ny_i\prod_{j=1,j\neq i}^n\frac{x_j-k}{x_i-x_j}f(k)=i=1∑nyij=1,j=i∏nxi−xjxj−k
发现这个直接计算是O(n2)O(n^2)O(n2)的搞不定。
上面的xj−kx_j-kxj−k挺好优化的，分别做一个前后缀积就好了，但是麻烦的是xi−xjx_i-x_jxi−xj。我们可以利用xix_ixi是连续的这个性质，我们只需要带入xi∈[1,n+2]x_i\in[1,n+2]xi∈[1,n+2]的点即可。

此时xi−xjx_i-x_jxi−xj就变为了两段阶乘分别是∏j=1i−11i−j\prod_{j=1}^{i-1}\frac{1}{i-j}∏j=1i−1i−j1和∏j=i+1j1i−j\prod_{j=i+1}^j\frac{1}{i-j}∏j=i+1ji−j1。预处理逆元前缀和就好了，需要注意的是因为后面那个式子i−ji-ji−j是负数所以我们需要判断一下如果n−in-in−i是奇数就要取反。

线性筛yiy_iyi的话时间复杂度O(n)O(n)O(n)，懒得话直接快速幂O(nlog⁡k)O(n\log k)O(nlogk)

codecodecode

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e6+10,P=1e9+7;
ll n,k,ans,inv[N],suf[N],pre[N];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
signed main()
{scanf("%lld%lld",&k,&n);// if(k<=n+2){//     for(ll i=1;i<=k;i++)//         ans=(ans+power(i,n))%P;//     printf("%d\n",ans);//     return 0;// }inv[1]=1;n+=2;for(ll i=2;i<=n;i++)inv[i]=P-(P/i)*inv[P%i]%P;inv[0]=1;for(ll i=1;i<=n;i++)inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P;ll tmp=1;pre[0]=suf[n+1]=1;for(ll i=1;i<=n;i++)pre[i]=pre[i-1]*(k-i)%P;for(ll i=n;i>=1;i--)suf[i]=suf[i+1]*(k-i)%P;for(ll i=1,p=0;i<=n;i++){(p+=power(i,n-2))%=P;ans+=p*pre[i-1]%P*suf[i+1]%P*inv[i-1]%P*(((n-i)&1)?P-inv[n-i]:inv[n-i])%P;ans=ans%P;}printf("%lld\n",(ans+P)%P);return 0;
}

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