前言

想要理解神经网络的工作原理，反向传播(BP)是必须搞懂的东西。BP其实并不难理解，说白了就是用链式法则(chain rule)算算算。本文试图以某个神经网络为例，尽可能直观，详细，明了地说明反向传播的整个过程。

正向传播

在反向传播之前，必然是要有正向传播的。正向传播时的所有参数都是预先随机取的，没人能说这样的参数好不好，得要试过才知道，试过之后，根据得到的结果与目标值的差距，再通过反向传播取修正各个参数。下图就是一个神经网络，我们以整个为例子来说明整个过程

图1：神经网络图

我懒，此图取自参考文献[1]，图中的各个符号说明如下（顺序从下往上）：
xix_ixi：输入样本中的第iii个特征的值
vihv_{ih}vih：xix_ixi与隐层第hhh个神经元连接的权重
αh\alpha_hαh：第h个隐层神经元的输入，αh=∑i=1dvihxi\alpha_h=\sum_{i=1}^d v_{ih}x_iαh=∑i=1dvihxi
bhb_hbh：第h个隐层神经元的输出，某个神经元的输入和输出有关系f(αh)=bhf(\alpha_h)=b_hf(αh)=bh，其中f(x)f(x)f(x)为激活函数，比如Sigmoid函数f(x)=11+e−xf(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}f(x)=1+e−x1
whjw_hjwhj：隐层第hhh个神经元和输出层第jjj个神经元连接的权重
βj\beta_jβj：输出层第jjj个神经元的输入，βj=∑h=1qwhjbh\beta_j=\sum_{h=1}^q w_{hj}b_hβj=∑h=1qwhjbh
yjy_jyj：第jjj个输出层神经元的输出，f(βj)=yjf(\beta_j)=y_jf(βj)=yj，f(x)f(x)f(x)为激活函数
为了方便书写，我们假设截距项bias已经在参数www和vvv之中了，也就是说在输入数据的时候，我们增添了一个x0=1x_0=1x0=1，由于我懒，图中没有画出来，但心里要清楚这一点。
相信看了图之后，神经网络的正向传播就相当简单明了了，不过，这里我还是啰嗦一句，举个例子，比如输出yjy_jyj的计算方法为

yj=f(βj)=f(∑h=1qwhjbh)=f(∑h=1qwhjf(αh))=f(∑h=1qwhjf(∑i=1dvihxi))y_j=f(\beta_j)=f(\sum_{h=1}^q w_{hj}b_h)=f(\sum_{h=1}^q w_{hj}f(\alpha_h))=f(\sum_{h=1}^q w_{hj}f(\sum_{i=1}^d v_{ih}x_i))yj=f(βj)=f(h=1∑qwhjbh)=f(h=1∑qwhjf(αh))=f(h=1∑qwhjf(i=1∑dvihxi))

反向传播

好了，通过正向传播，我们就已经得到了lll个yyy的值了，将它们与目标值ttt，也就是我们期望它们成为的值作比较，并放入损失函数中，记作LLL。
损失LLL可以自行选择，比如常见的均方误差L=12∑j=1l(yj−tj)2L=\dfrac{1}{2}\sum_{j=1}^l (y_j - t_j)^2L=21∑j=1l(yj−tj)2
利用这个误差，我们将进行反向传播，以此来更新参数www和vvv。更新时，我们采用的是梯度下降法，也就是

{w:=w+Δwv:=v+Δv\begin{cases}w := w + \Delta w \\ v := v + \Delta v\end{cases}{w:=w+Δwv:=v+Δv

其中，Δw=−η∂L∂w\Delta w = -\eta \dfrac{\partial L}{\partial w}Δw=−η∂w∂L，Δv=−η∂L∂v\Delta v = -\eta \dfrac{\partial L}{\partial v}Δv=−η∂v∂L，η\etaη为学习率。
下面要做的工作就是计算出每个参数的梯度，这也就是链式法则发挥作用的地方了。
比如，我们要计算whjw_{hj}whj。从网络结构中不难看出whjw_{hj}whj影响了βj\beta_jβj从而影响了yjy_jyj，最终影响了LLL所以我们有

Δwhj=−η∂βj∂whj∂yj∂βj∂L∂yj\Delta w_{hj}=-\eta \dfrac{\partial \beta_j}{\partial w_{hj}} \dfrac{\partial y_j}{\partial \beta_j} \dfrac{\partial L}{\partial y_j}Δwhj=−η∂whj∂βj∂βj∂yj∂yj∂L

只要确定了损失函数LLL和激活函数f(x)f(x)f(x)，上面所有的都是可以算的，而且∂βh∂whj=bh\dfrac{\partial \beta_h}{\partial w_{hj}} = b_h∂whj∂βh=bh这点是显而易见的。并且，∂yj∂βj=∂f(βj)∂βj\dfrac{\partial y_j}{\partial \beta_j} = \dfrac{\partial f(\beta_j)}{\partial \beta_j}∂βj∂yj=∂βj∂f(βj)就是激活函数的导数。
同理，vihv_{ih}vih影响了αh\alpha_hαh，从而影响了bhb_hbh，从而影响了β1\beta_{1}β1，β2\beta_{2}β2，…，βl\beta_{l}βl，从而影响了y1y_1y1，y2y_2y2，…，yly_lyl，最终影响了LLL。

Δvih=−η∂αh∂vih∂bh∂αh∑j=1l(∂βj∂bh∂yj∂βj∂L∂yj)\Delta v_{ih} = -\eta \dfrac{\partial \alpha_h}{\partial v_{ih}} \dfrac{\partial b_h}{\partial \alpha_h}\sum_{j=1}^l (\dfrac{\partial \beta_j}{\partial b_h} \dfrac{\partial y_j}{\partial \beta_j} \dfrac{\partial L}{\partial y_j})Δvih=−η∂vih∂αh∂αh∂bhj=1∑l(∂bh∂βj∂βj∂yj∂yj∂L)

其中，∂αh∂vih=xi\dfrac{\partial \alpha_h}{\partial v_{ih}}=x_i∂vih∂αh=xi，∂βj∂bh=whj\dfrac{\partial \beta_j}{\partial b_h} = w_{hj}∂bh∂βj=whj，∂yj∂βj=∂f(βj)∂βj\dfrac{\partial y_j}{\partial \beta_j} = \dfrac{\partial f(\beta_j)}{\partial \beta_j}∂βj∂yj=∂βj∂f(βj)和∂bh∂αh=∂f(αh)∂αh\dfrac{\partial b_h}{\partial \alpha_h} = \dfrac{\partial f(\alpha_h)}{\partial \alpha_h}∂αh∂bh=∂αh∂f(αh)是激活函数的导数。
至此，我们已经可以算出Δw\Delta wΔw和Δv\Delta vΔv，从而更新参数了。

关于激活函数的几点说明

从推出的公式中不难看出，随着反向传播向输出层这个方向的推进，激活函数的影响也就越来越来了。通俗一点来说，在计算Δwhj\Delta w_{hj}Δwhj，我们只乘了一个激活函数的导数，然而在计算Δvih\Delta v_{ih}Δvih时，我们乘了多个激活函数的导数。

Δwhj=−η∂βj∂whjf′(βj)∂L∂yj\Delta w_{hj}=-\eta \dfrac{\partial \beta_j}{\partial w_{hj}} f'(\beta_j) \dfrac{\partial L}{\partial y_j}Δwhj=−η∂whj∂βjf′(βj)∂yj∂L

Δvih=−η∂αh∂vihf′(αh)∑j=1l(∂βj∂bhf′(βj)∂L∂yj)\Delta v_{ih} = -\eta \dfrac{\partial \alpha_h}{\partial v_{ih}} f'(\alpha_h) \sum_{j=1}^l (\dfrac{\partial \beta_j}{\partial b_h} f'(\beta_j) \dfrac{\partial L}{\partial y_j})Δvih=−η∂vih∂αhf′(αh)j=1∑l(∂bh∂βjf′(βj)∂yj∂L)

不难推断出，如果隐层的层数更多的话，激活函数的影响还要更大。
一个比较传统的激活函数时Sigmoid函数，其图像如下所示。

图2：Sigmoid函数

不难发现，当xxx比较大的时候，或比较小的时候，f′(x)f'(x)f′(x)是趋近于0的，当神经网络的层数很深的时候，这么多个接近0的数相乘就会导致传到输出层这边的时候已经没剩下多少信息了，这时梯度对模型的更新就没有什么贡献了。那么大多数神经元将会饱和，导致网络就几乎不学习。这其实也是Sigmoid函数现在在神经网络中不再受到青睐的原因之一。
另一个原因是Sigmoid 函数不是关于原点中心对称的，这会导致梯度在反向传播过程中，要么全是正数，要么全是负数。导致梯度下降权重更新时出现 Z 字型的下降。
所以，就出现了ReLU这个激活函数 f(x)=max⁡(0,x)f\left( x\right) =\max \left( 0,x\right)f(x)=max(0,x)，其图像如下图所示。

图3：ReLU函数

ReLU 对于 SGD 的收敛有巨大的加速作用，而且只需要一个阈值就可以得到激活值，而不用去算一大堆复杂的（指数）运算。
不过，由于它左半边的状态，ReLU在训练时比较脆弱并且可能“死掉”。
因此，人们又研究出了Leaky ReLU，PReLU等等的激活函数。这里不展开讨论。

参考文献

[1] 周志华. 机器学习 : = Machine learning[M]. 清华大学出版社, 2016.
[2] http://cs231n.github.io/neural-networks-1/
[2] http://www.jianshu.com/p/6df4ab7c235c

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