Lonlife 1016 Change of Life

定义f(x)f(x)为LIS(a0,a1...am)(n=a0+a1×10+...+am×10m,0≤ai≤9,am≠0)LIS(a_0,a_1...a_m)(n = a_0 + a_1\times 10+...+a_m\times 10^m,0\le a_i\le 9,a_m\neq 0)

求∑ni=1f(i)\sum_{i=1}^nf(i)

1≤n≤10151 \le n \le 10^{15}

一眼看过去就是一个数位dpdp，但是我们用怎么样的状态表示最长上升子序列这个东西呢？

考虑到最长上升子序列的二分nlog(n)nlog(n)解法中用到的状态表示dpidp_i表示长ii的最长上升子序列结尾最小的那个序列的结尾，同时保证了dpdp数组的单调性。

因为是严格上升，所以dpdp数组是不重复的。因为序列中的数只有[0,9][0,9]这10个数，我们可以用状态压缩保存dpdp数组有哪几个数，又因为dpdp数组的单调性，所以这个状态表示是唯一的。

因为低位在第一个位置的最长上升子序列不好写，改成了最高位在第一个位置的最长下降子序列

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;#define LL long long
const int maxn = 20;LL dp[maxn][1<<10];
int num[maxn];
int nex[1<<10][10],one[1<<10];int tem[maxn];int getnex(int S,int x){int n = 0;for(int i=9;i>=0;i--) if((S>>i) & 1) tem[n++] = i;one[S] = n;for(int i=0;i<n;i++){if(tem[i] <= x){return (S & (~(1<<tem[i]))) | (1<<x);}}return S | (1<<x);
}void init(){for(int i=0;i<(1<<10);i++){for(int j=0;j<10;j++){nex[i][j] = getnex(i,j);}}
}LL dfs(int pos,bool bnd,int sta){if(pos < 0) return one[sta];LL & ndp = dp[pos][sta];if(!bnd && ~ndp) return ndp;LL ret = 0;int bound = bnd ? num[pos] : 9;for(int i=0;i<=bound;i++){ret += dfs(pos-1,bnd && i == bound,nex[sta][i]);}if(!bnd) ndp = ret;return ret;
}LL cal(LL x){int len = 0;while(x){num[len++] = x % 10;x /= 10;}return dfs(len-1,true,0);
}int main(){int T;init();scanf("%d",&T);LL n;memset(dp,-1,sizeof(dp));while(T-- && ~scanf("%lld",&n)){printf("%lld\n",cal(n)-1);;}return 0;
}

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