基于牛顿法的开平方实现

2024-05-07 16:52:29

引言

牛顿法是求解最优问题的一种常用方法。

方法简述

本文主要在实现使用牛顿法进行开平方操作，代码使用python实现。在开平方求解中，更多的可以参考这篇文章。牛顿法是一种最优化求解方法，在迭代过程中求取到最接近解的值，类似的还有梯度下降等等。

方法分析

这里主要讲解我对该方法的推导，有错误之处麻烦指出。
首先针对开根号求解，可用以下式子描述：
x=nx=\sqrt{n} x=n
将该式换成：
x2=nx^{2}=n x2=n
移项得
x2−n=0x^{2} - n = 0 x2−n=0
要求出n的开跟结果，其实就是求出该式的解，对于该式，可以描述为：
x2−n=yx^{2} - n = y x2−n=y
也就是求出该抛物线与x轴的交点，因为实数范围内求出的开根号结果大于0，因此只需要计算大于零的一边。对于该式的求解，牛顿法的迭代速度较快。

图中，首先给定初始的值，这个值可以随便给，图中选的是x=4，如红色竖线所示。牛顿法的精髓就在于，给定初始值之后，能够快速下降到目标解。在x=4这一点，获取该点的切线，如图紫色斜线所示。求出该点切线与x轴交点即为下次迭代的x值，最后迭代多次之后，如果在误差范围内，输出结果。
令给定一个初始值x1x_{1}x1。
在式中：
x2−n=yx^{2} - n = y x2−n=y
其对应的点为(x1,x12−n)(x_{1},x_{1}^{2} - n)(x1,x12−n)，该点对应的斜率为 2x1，斜率公式为：
2x=y2x = y 2x=y
斜率公式可通过对x求导得出。将点和斜率带入斜线公式：
ax+b=yax+b=y ax+b=y
求得下一个迭代的点为：
x2=−ba=n2x1+x12x_{2}=\frac{-b}{a}=\frac{n}{2x_{1}}+\frac{x_{1}}{2} x2=a−b=2x1n+2x1
迭代多次，知道求出xn−xn−1<δx_{n}-x_{n-1}<\deltaxn−xn−1<δ，δ\deltaδ为自定的误差范围。

代码如下：

def SquareRoot(n):tx = 100lstx = txfor i in range(10):tx = (n / tx / 2 + tx / 2)if (abs(tx - lstx) < 0.0000001):breaklstx = txreturn tx

测试了本方法与系统自带方法运算效率：

可能是因为python的原因，结果虽然正确，但是时间上时系统自带方法的两倍。但是就算如此，该方法也比二分法好。

GitHub Link:https://github.com/ThisskyMain/MyAlgorithm

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