1. 相关系数

称为Correlation coefficient，又称皮尔逊相关系数，衡量了两个变量的线性相关程度。定义变量XXX与YYY的协方差Cov(X,Y)Cov(X,Y)Cov(X,Y)：
Cov(X,Y)=E{[X−E(x)][Y−E(Y)]}Cov(X,Y)=E\{[X-E(x)][Y-E(Y)]\}Cov(X,Y)=E{[X−E(x)][Y−E(Y)]}
随机变量XXX与YYY的相关系数ρXY\rho_{XY}ρXY：
ρXY=Cov(X,Y)D(x)D(y)\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(x)}\sqrt{D(y)}}ρXY=D(x)D(y)Cov(X,Y)

相关系数有如下的性质：
1.∣ρXY∣≤1|\rho_{XY}|\leq 1∣ρXY∣≤1,∣ρXY∣|\rho_{XY}|∣ρXY∣越大，标明线性相关程度越高，当∣ρXY∣=0|\rho_{XY}|=0∣ρXY∣=0，表示为不相关。
2.∣ρXY∣=1|\rho_{XY}|=1∣ρXY∣=1的充要条件是，存在常数a,ba,ba,b使得 P{Y=a+bX}=1P\{Y=a+bX\}=1P{Y=a+bX}=1,即XXX和YYY一定存在线性关系。
3.线性相关和独立的关系：

当XXX和YYY相互独立时，Cov(X,Y)=0Cov(X,Y)=0Cov(X,Y)=0,因此∣ρXY∣=0|\rho_{XY}|=0∣ρXY∣=0，此时XXX和YYY一定不相关。
当XXX和YYY不相关，XXX和YYY不一定相互独立。因为不相关针对线性关系来说的，相关独立是就一般关系来说的。

1.1相关矩阵

相关系数针对两个随机变量，相关矩阵是对相关系数在nnn个随机变量的扩展：(X1,X2,...,Xn)(X_{1},X_{2},...,X_{n})(X1,X2,...,Xn),
R=[ρ11ρ12...ρ1nρ21ρ22...ρ2n............ρn1ρn2...ρnn]R=\begin{bmatrix} \rho_{11} & \rho_{12}&... &\rho_{1n} \\ \rho_{21} & \rho_{22}&... &\rho_{2n} \\ ... & ...&... &... \\ \rho_{n1} & \rho_{n2}&... &\rho_{nn} \\ \end{bmatrix}R=⎣⎢⎢⎡ρ11ρ21...ρn1ρ12ρ22...ρn2............ρ1nρ2n...ρnn⎦⎥⎥⎤

2.向量的相似度

当前最常用的衡量向量相似度的是余弦相似度，或者是两者的点积。设两个向量X=[x1,x2,...,xn]TX=[x_{1},x_{2},...,x_{n}]^{T}X=[x1,x2,...,xn]T,Y=[y1,y2,...,yn]TY=[y_{1},y_{2},...,y_{n}]^{T}Y=[y1,y2,...,yn]T,点积也成为了内积(inner product),
XTY=x1∗y1+x1∗y1+...+xn∗ynX^{T} Y=x_{1}*y_{1}+x_{1}*y_{1}+...+x_{n}*y_{n}XTY=x1∗y1+x1∗y1+...+xn∗yn
cos⁡<X,Y>=XTY∣∣X∣∣∣∣Y∣∣\cos<X,Y>=\frac{X^{T} Y}{||X||\ ||Y||}cos<X,Y>=∣∣X∣∣ ∣∣Y∣∣XTY

余弦相似度衡量了两个向量的夹角，cos⁡<X,Y>∈[−1,1]\cos<X,Y>\in [-1,1]cos<X,Y>∈[−1,1],值越大，标明两个向量夹角越小，相似度越高。
点积，X⋅Y=cos⁡<X,Y>∣∣X∣∣∣∣Y∣∣X\cdot Y=\cos<X,Y>||X||\ ||Y||X⋅Y=cos<X,Y>∣∣X∣∣ ∣∣Y∣∣。点积反映了夹角以及向量的长度因素，在余弦相似度的基础上，两个向量的模越大，相关性越大。点积被用在capsule network时的参数更新计算。

2.1 Gram矩阵

点积运算可以被扩展到3D的feature map，论文：A Gift from Knowledge Distillation:
Fast Optimization, Network Minimization and Transfer Learning中采用Gram矩阵来tranfer的teacher的解过程的流动。
设X∈RH×W×MX\in R^{H\times W\times M}X∈RH×W×M,Y∈RH×W×NY\in R^{H\times W\times N}Y∈RH×W×N,H,WH,WH,W是spatial维度，M,NM,NM,N为channel维度，Gram矩阵G∈RM×NG\in R^{M\times N}G∈RM×N。
Gi,j=∑h=1H∑w=1WXh,w,i×Yh,w,jH×WG_{i,j}=\sum_{h=1}^{H}\sum_{w=1}^{W}\frac{X_{h,w,i}\times Y_{h,w,j}}{H\times W}Gi,j=h=1∑Hw=1∑WH×WXh,w,i×Yh,w,j
得到的Gram矩阵相当于抓住了特征图XXX与YYY之间的channel-wise相关度。
实现代码：

import torchdef GramMatrix(A, B):"""Argument:A -- matrix of shape (batch_size, n_C,n_H, n_W)Returns：GA -- Gram matrix of A, of shape (n_C, n_C)"""A_batch_size, A_n_C, A_n_H, A_n_W = A.size()B_batch_size, B_n_C, B_n_H, B_n_W = B.size()A = A.view(A_batch_size, A_n_C, -1)B = B.view(B_batch_size, B_n_C, -1)GA = torch.bmm(A, B.transpose(1, 2))return GAx = torch.randn(2, 3, 4, 4)
y = torch.randn(2, 5, 4, 4)print(GramMatrix(x,y).size())  # torch.Size([2, 3, 5])

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变量之间的相关性度量

1. 相关系数

1.1相关矩阵

2.向量的相似度

2.1 Gram矩阵

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