关于“sin(10°)是无理数”的一个证明

因为某些特殊原因，突然想起这个或许出现在当年PKU自主招生的问题，瞎想了一个做法，算是对时光不再与自己长大的感慨吧。

证明：
利用三倍角公式有 sin ⁡ ( 30 ° ) = sin ⁡ ( 20 ° ) cos ⁡ ( 10 ° ) + sin ⁡ ( 10 ° ) cos ⁡ ( 20 ° ) = 2 sin ⁡ ( 10 ° ) [ 1 − sin ⁡ 2 ( 10 ° ) ] + sin ⁡ ( 10 ° ) [ 1 − 2 sin ⁡ 2 ( 10 ° ) ] = 1 2 \sin(30°)=\sin(20°)\cos(10°)+\sin(10°)\cos(20°)=2\sin(10°)[1-\sin^2(10°)]+\sin(10°)[1-2\sin^2(10°)]=\frac 1 2 sin(30°)=sin(20°)cos(10°)+sin(10°)cos(20°)=2sin(10°)[1−sin2(10°)]+sin(10°)[1−2sin2(10°)]=21

记 sin ⁡ ( 10 ° ) = x \sin(10°)=x sin(10°)=x，则有 − 4 x 3 + 3 x + 1 2 = 0 -4x^3+3x+\frac1 2 =0 −4x3+3x+21=0

考虑反证法，假定 sin ⁡ ( 10 ° ) \sin (10°) sin(10°)是有理数，则有 x = p q ( > 0 ) x=\frac p q(>0) x=qp(>0)，其中 p , q p,q p,q为互质的正整数，将其代入上述方程中，并在方程两边同时乘以 q 3 q^3 q3：

− 4 p 3 + 3 p q 2 + q 3 2 = 0 -4p^3+3pq^2+\cfrac {q^3}{2}=0 −4p3+3pq2+2q3=0

由于方程左边前两项均是整数且右边是0，所以 q 3 2 \cfrac {q^3}{2} 2q3一定是整数，也即 q q q为偶数，故可设 q = 2 q ′ q=2q' q=2q′，其中 q ′ q' q′为正整数，将其代入方程并在两边同除以4：

− p 3 + 3 p ( q ′ ) 2 + ( q ′ ) 3 = 0 -p^3+3p(q')^2+(q')^3=0 −p3+3p(q′)2+(q′)3=0

又因为 q q q为偶数， p , q p,q p,q互质，所以 p p p一定为奇数，进一步有 − p 3 , 3 p -p^3,3p −p3,3p均为奇数。下面考虑对 q ′ q' q′的奇偶进行分类讨论，若 q ′ q' q′为奇数，则方程左边就是“奇数+奇数+奇数”的形式，显然不可能等于0；若 q ′ q' q′为偶数，由于“奇数×偶数=偶数”，方程左边是“奇数+偶数+偶数”的形式，也不可能等于0，故假设不成立， sin ⁡ ( 10 ° ) \sin(10°) sin(10°)为无理数得证

关于“sin(10°)是无理数”的一个证明相关推荐

计算复杂性读书笔记（二）：论怎么把一个证明写得有意思
2019独角兽企业重金招聘Python工程师标准>>> 计算复杂性读书笔记(二): 论怎么把一个证明写得有意思比特猪 quanzz1129@gmail.com 首先是版权声明,版权 ...
假设你有一个多层感知机网络（MLP），输入层有10个节点、一个单隐层共50个神经元，最后是一个3个神经元的输出层。请问网络的结构是什么样子的使用数学形式进行描述？
假设你有一个多层感知机网络(MLP),输入层有10个节点.一个单隐层共50个神经元,最后是一个3个神经元的输出层.请问网络的结构是什么样子的使用数学形式进行描述? 输入矩阵X的形状是什么? 隐藏层的权 ...
MAT之PSO：利用PSO+ω参数实现对一元函数y = sin(10*pi*x) ./ x进行求解优化，找到最优个体适应度
MAT之PSO:利用PSO+ω参数实现对一元函数y = sin(10*pi*x) ./ x进行求解优化,找到最优个体适应度目录输出结果实现代码输出结果实现代码 x = 1:0.01:2; y ...
MAT之PSO：利用PSO实现对一元函数y = sin(10*pi*x) ./ x进行求解优化，找到最优个体适应度
MAT之PSO:利用PSO实现对一元函数y = sin(10*pi*x) ./ x进行求解优化,找到最优个体适应度目录输出结果代码设计输出结果代码设计 x = 1:0.01:2; y = s ...
Delphi XE 10.4 FMX ListView 一个不易察觉的 BUG
Delphi XE 10.4 FMX ListView 一个不易察觉的 BUG 在使用 ListView DynamicAppearance 时发现非常强大,可以加很多东西,但没有发现复选框(哪位大佬 ...
产生10个1-100的随机数，并放到一个数组中，把数组中大于等于10的数字放到一个list集合中，并打印到控制台。
代码 import java.util.ArrayList; import java.util.List; import java.util.Random;/*1.产生10个1-100的随机数,并放到 ...
bootstrap设计登录页面_前端小白如何在10分钟内打造一个爆款Web响应式登录界面？...
对于前端小白(例如:专注后端代码N年的攻城狮),自己编写一个漂亮的Web登录页面似乎在设计上有些捉襟见肘,不懂UI设计,颜色搭配极度的混乱(主色,辅助色,配色,色彩渐变,动画效果等等,看起来一堆乱七八 ...
10. 我的第一个Java应用程序
10. 我的第一个Java应用程序 public class HelloWorld { public static void main(String[] args) ...
猴子吃桃问题：一只小猴子摘了若干桃子，每天吃现有桃的一半多一个，到第10天时就只有一个桃子了，求原有多少个桃？请编程实现。（C++）（迭代法）
算法经典题型14 猴子吃桃问题:一只小猴子摘了若干桃子,每天吃现有桃的一半多一个,到第10天时就只有一个桃子了,求原有多少个桃?请编程实现. 用到的思想-迭代法博主用到的环境:Win7, CodeB ...

关于“sin(10°)是无理数”的一个证明

关于“sin(10°)是无理数”的一个证明相关推荐

最新文章

热门文章