库存管理习题：第三章

3.1  \; 在3.2.1节中，我们假设只有在 I(t−)=0I(t^-)=0I(t−)=0（零库存特征）时下达订单。本习题说明其原因。为了简单起见，假设 L=0L=0L=0 且 I(0−)=IO(0−)=0I(0^-)=IO(0^-)=0I(0−)=IO(0−)=0，因此我们必须在时刻 0 订货。任何策略都可以通过订货时间的递增序列 {ti:i≥1}\{t_i:i\ge 1\}{ti:i≥1} 和相应的正订货数量序列 {qi:i≥1}\{q_i:i\ge 1\}{qi:i≥1} 来进行描述。只考虑可行的策略，此时 I(t)≥0I(t)\ge 0I(t)≥0，每个有限的时间间隔内具有有限多个订货时点 tit_iti。
\qquad考虑一种违反零库存假设的策略。对于 I(ti−)>0I(t_i^-)>0I(ti−)>0，选择 jjj 为最小的 iii 值。通过将时点 tjt_jtj 的订货推迟到 tj∗=min⁡{tj+I(tj−)/λ,tj+1}t_j^*=\min\{t_j+I(t_j^-)/{\lambda},t_{j+1}\}tj∗=min{tj+I(tj−)/λ,tj+1} 来构建一个新的策略。证明如果有必要，如何调整某些 qiq_iqi，以使在 t≥tj∗t\ge t_j^*t≥tj∗ 时 I(t)I(t)I(t) 保持与以前一样。证明新的策略是可行的，并且比老策略更优秀，即其在每一个有限的时间间隔内成本更低。

3.2  \; 本习题证明了3.2.1节中的另一个假设（所有的订单批量都是一样的）是合理的。考虑一个具有零库存特性的策略。令 OF(t)OF(t)OF(t)为订单的数量，C(t)C(t)C(t) 为时间间隔 [0,t)[0,t)[0,t) 内的总成本，保持 ttt 和 OF(t)OF(t)OF(t) 不变。
（1）证明在具有该 OF(t)OF(t)OF(t) 的所有策略中，在相等的时间间隔 u=t/OF(t)u=t/{OF(t)}u=t/OF(t) 中订购相等数量 q=λt/OF(t)q=\lambda t/{OF(t)}q=λt/OF(t) 的策略使 C(t)C(t)C(t) 最小。
（2）另外，证明 C(t)C(t)C(t) 的最小值为 [k/u+1/2hλu]t[k/u+1/2h\lambda u]t[k/u+1/2hλu]t。
（3）对于每一个可行策略和所有 ttt，说明 C(t)≥(2kλh)1/2tC(t)\ge (2k\lambda h)^{1/2}tC(t)≥(2kλh)1/2t。

3.3  \; 考虑一下3.2.2节中的函数 C(q)C(q)C(q)，即EOQ模型中的平均总成本。证明这个函数对于 qqq 来说是严格凸的。

3.4  \; 在3.2节的EOQ模型中，假设下达一个订单的固定成本是100美元，需求是50吨/年，持有成本是每周每磅0.015385美元（1吨等于2000磅，每年有52周）。计算最优订货批量和最优平均成本。

3.5  \; 考虑下面对EOQ模型的变形：我们的存储空间只能容纳 I+I_+I+ 数量单位。如果库存超过了 I+I_+I+，我们就需要租用额外的空间来放置多余的库存。租用空间的成本率为 h+>hh_+>hh+>h。证明现在的总平均成本变成了：
C(q)=cλ+kλq+12hq+{12h+(q2−I+2)q−12h(q−I+)2q如果 q>I+}C(q)=c\lambda + \frac{k\lambda}{q}+\frac{1}{2}hq+\left\{\frac{1}{2}\frac{h_+(q^2-I_+^2)}{q}-\frac{1}{2}\frac{h(q-I_+)^2}{q}\qquad\text{如果}\,q>I_+\right\}C(q)=cλ+qkλ+21hq+{21qh+(q2−I+2)−21qh(q−I+)2如果q>I+}（1）证明这个函数连续可微且为凸函数。
（2）证明 q∗q^*q∗ 的计算如下：首先像在EOQ模型中一样计算 q∗q^*q∗，如果 q∗≤I+q^*\leq I_+q∗≤I+，则停止计算；否则，重置 q∗=I++2kλ−hI+2h+q^*=I_++\sqrt{\frac{2k\lambda -hI_+^2}{h_+}}q∗=I++h+2kλ−hI+2

3.6  \; 证明在EOQ模型中描述次优 qqq 值相对成本的公式（3.2.5）。计算 q/q∗=2q/{q^*}=2q/q∗=2 和 q/q∗=1/2q/{q^*}=1/{\sqrt{2}}q/q∗=1/2 时的值。

3.7  \; 对于 x>0x>0x>0，定义函数 F(x)F(x)F(x) 为：F(x)=ax−a+bxβF(x)=ax^{-a}+bx^{\beta}F(x)=ax−a+bxβ其中 a,α,b,βa,\alpha,b,\betaa,α,b,β 都为正的常数。考虑 FFF 对 xxx 的最小化问题。证明唯一最优解为 x∗=(αa/βb)1/(α+β)x^*=\left({\alpha a}/{\beta b}\right)^{1/(\alpha+\beta)}x∗=(αa/βb)1/(α+β)。另外，证明 F(x∗)=(α+β)[(a/β)β(b/α)α]1/(α+β)F(x^*)=(\alpha+\beta)[(a/\beta)^\beta(b/\alpha)^\alpha]^{1/(\alpha+\beta)}F(x∗)=(α+β)[(a/β)β(b/α)α]1/(α+β)。

3.8  \; 在本章中，我们假设产品是无限可分的，而且需求是连续发生的。这一习题证明了EOQ模型也描述了一种离散的情况。
\qquad假设需求发生在一些离散的时间点，时间间隔为 1/λ1/\lambda1/λ，单位大小为 111。我们的订货批量 qqq 是一个正整数，因此每批货物都会在最迟可行时间到达。证明 OF‾=λ/q,I‾=1/2(q−1)\overline{OF}=\lambda/q, \overline{I}=1/2(q-1)OF=λ/q,I=1/2(q−1)，并且 C(q)=cλ+kλq+12h(q−1)C(q)=c\lambda+\frac{k\lambda}{q}+\frac{1}{2}h(q-1)C(q)=cλ+qkλ+21h(q−1) 用 ΔC(q)=C(q+1)−C(q)\Delta C(q)=C(q+1)-C(q)ΔC(q)=C(q+1)−C(q) 表示一阶差分算子。最优解 q=q∗q=q^*q=q∗ 满足 ΔC(q−1)<0≤ΔC(q)\Delta C(q-1)<0\leq \Delta C(q)ΔC(q−1)<0≤ΔC(q)。证明这一条件相当于：q(q−1)<2kλh≤q(q+1)q(q-1)<\frac{2k\lambda}{h}\leq q(q+1)q(q−1)<h2kλ≤q(q+1) 用 qc∗q_c^*qc∗ 表示EOQ公式中连续需求的最优解 qqq。证明如果 qc∗q_c^*qc∗ 恰好为整数，则 q∗=qc∗q^*=q_c^*q∗=qc∗，否则 q∗q^*q∗ 可以通过对 qc∗q_c^*qc∗ 取整得到，不论是向上取整还是向下取整。
\qquad 显然，如果需求量为某一数值 YYY 而不是 111 时，这一方法也是有效的。现在回到连续的情况下，但假定订货周期 uuu 为整数。说明按上述方法进行调整后如何计算 u∗u^*u∗。最后，当 uuu 必须为某一任意基准期 u‾\underline{u}u 的整数倍时，说明该怎么做。

3.9  \; 在3.3节有计划的延期交货模型中，假设参数为：λ=1000k=60h=0.75w=0.81\lambda=1000\qquad k=60\qquad h=0.75\qquad w=0.81λ=1000k=60h=0.75w=0.81计算最优策略和最优平均成本（除 cλc\lambdacλ 之外）。现在，假设我们安装了一套计算机系统来处理，将 kkk 从 60 减少到 33.75。这对最优策略和最优成本有什么影响？

3.10  \; 定义函数 C^(x)=h[x]++b[x]−\hat C(x)=h[x]^++b[x]^-C^(x)=h[x]++b[x]− 和 C−(y)=C^(y−D)C_-(y)=\hat C(y-D)C−(y)=C^(y−D)。证明有缺货订单情况下EOQ模型的成本函数可以表示为C(r,q)=cλ+kλ+∫rr+qC−(y)dyqC(r,q)=c\lambda+\frac{k\lambda+\int_r^{r+q}C_ -(y)dy}{q}C(r,q)=cλ+qkλ+∫rr+qC−(y)dy

3.11  \; 下面是处理延期交货的另一种方法：我们不采用惩罚成本或者约束条件，而是对这一产品的市场等待时间 BW‾\overline{BW}BW 建模。 BW‾\overline{BW}BW 会影响消费者愿意支付的价格 ppp，或他们愿意购买的数量，或者对两者都产生影响。具体而言，p,λp,\lambdap,λ 和 BW‾\overline{BW}BW 的关系用下式表示：λ=α[pf(BW‾)]−β\lambda=\alpha [pf(\overline{BW})]^{-\beta}λ=α[pf(BW)]−β 其中 α,β\alpha, \betaα,β 是正常量，β>1\beta>1β>1，fff 是增函数，f(0)=1f(0)=1f(0)=1。因此，随着 BW‾\overline{BW}BW 的增大，λ\lambdaλ 下降，或者 ppp 下降，或者两者都下降。单位购买成本 ccc 保持不变。
\qquad 用时间变量 uuu 和 yyy 来描述库存策略。回顾一下，BW‾=1/2y2/u\overline{BW}=1/2y^2/uBW=1/2y2/u。首先，考虑 uuu 和 yyy 以及 BW‾\overline{BW}BW 是不变的。所以，我们仍然是需要选择 ppp 或 λ\lambdaλ。计算令总平均利润 P(λ)P(\lambda)P(λ) 最大的 λ\lambdaλ 值，即平均收入 pλp\lambdapλ 减去所有相关成本。
\qquad 现在，把 uuu 和 yyy 以及 λ\lambdaλ 看成是可变的，建立一个函数 P(u,y,λ)=P(u,y,\lambda)=P(u,y,λ)= 单位时间中平均利润。写出一个总体最优策略的一阶必要条件。

3.11  \; 在有计划的延期交货模型中，假设没有惩罚成本 bbb，但 BW‾\overline{BW}BW 有一个上限，用 BW+BW_+BW+ 表示。则问题变成了：最小化cλ+kλq+12h(q+v)2q\text{最小化}\qquad c\lambda+\frac{k\lambda}q+\frac{1}{2}\frac{h(q+v)^2}q最小化cλ+qkλ+21qh(q+v)2约束条件BW‾≤BW+ , −1≤v≤0\text{约束条件}\qquad \overline{BW}\leq BW_+\;,\;-1\leq v\leq 0约束条件BW≤BW+,−1≤v≤0证明最后两个不等式可以被消除，剩下的约束条件简化为 1/2v2/q=λBW+1/2v^2/q=\lambda BW_+1/2v2/q=λBW+。为这一等式引入一个拉格朗日乘数（对偶变量）π\piπ，定义一个恰当的拉格朗日函数，推导出最优一阶必要条件。利用这些条件得到用 π∗\pi^*π∗ 表示的 v∗v^*v∗ 和 q∗q^*q∗，以及关于 π\piπ 本身的多项式方程。证明 π\piπ 与纯粹成本最优化模型中 bbb 的作用是一样的。

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