均值与期望到底是不是一回事？

总第172篇/张俊红

均值和期望是我们平常接触比较多的两个概念，均值大家都知道，就是若干个值先求和，然后再除值的个数；那期望又是什么。一般人们为了便于理解，就会说，你把期望也理解成是均值就可以了。那到底可不可以这样呢，我们这一篇来具体看看。

先来看看期望这个概念的历史:

早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)(1/2)=1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。

通过上面的故事我们可以看出，期望是一种通过概率计算出来的值，是理想状态下我们希望得到的结果。不常有一句话叫做，期望越大失望越大么，这里面的期望其实就和我们这里提到的期望差不多。

我们再来看一下期望的数学定义是怎么定义的，期望一般用E(X)来表示。

E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn)

X1,X2,X3,……,Xn表示具体的n个值，p(X1),p(X2),p(X3),……,p(Xn)为这几个值对应的出现的概率。在已知的一份数据集中，概率值p(X1),p(X2),p(X3),……,p(Xn)可以理解为值X1,X2,X3,……,Xn出现的频率f(Xi),则：

E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1) + X2*f2(X2) + …… + Xn*fn(Xn)

某个值出现的频率=该值出现的次数/所有值出现的次数之和。

现在有下面这么几个值，我们来分别计算一下这些值的均值和期望。

1，1，2，5，2，6，5，8，9，4，8，1

均值 = (1+1+2+5+2+6+5+8+9+4+8+1)/12 = 13/3

每个值出现的频率为：

值	频率
1	f(1)=3/12
2	f(2)=2/12
4	f(4)=1/12
5	f(5)=2/12
6	f(6)=1/12
8	f(8)=2/12
9	f(9)=1/12

期望 = 1*f(1)+2*f(2)+4*f(4)+5*f(5)+6*f(6)+8*f(8)+9*f(9) = 13/3

我们可以看到计算出来的两个值是相等的，这是巧合吗？不是的，在已知的一份数据集中，这两个值计算出来都是相等的。

均值和期望的本质上的区别是后者是一种通过概率得出来的值，而前者是一个具体的、实际的值；两者在一般情况计算出来的值都是一样的，这也就是为什么会有把期望理解成均值的做法。

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