直方图均衡化算法原理及bins的理解

原理部分转载于：直方图均衡化算法原理与实现
bin的理解和直观展示见 part2

part1 直方图均衡化算法原理

我们知道提高图像对比度的变换函数f(x)需要满足以下条件：

f(x)在0<=x<=L−1上单调递增(不要求严格单调递增),其中L表示灰度级（L=256）
f(x)的范围是[0,L−1]

我们知道当图像直方图完全均匀分布的时候，此时图像的熵是最大的（随机变量每个值的概率都相同时，概率最大），图像对比度是最大的。所以，理想情况下，图像经过变换函数f(x)

变换后，直方图能够均匀分布，此时对比度是最大的。

那问题来了？怎样的变换函数具有如此神奇的功能呢？[1]P74中给出了答案。
在图像处理中，有一个重要的函数，能够满足上面的条件：

$y=f(x)=(L-1)\int_{0}^{x}p_{x}(t)dt#pic_center$

英文原版中P145中的表述为：

其中px(x)表示概率密度函数，在离散的图像中，表示直方图的每个灰度级的概率（在图像中，灰度级就可以看成是一个随机变量，而直方图就是该随机变量的概率密度函数），由概率论的知识，我们可以知道，变换函数f(x)其实就是连续型随机变量x的分布函数，表示的是函数下方的面积。

分布函数的两个性质：1.单调不减 2.值域为[0,1]，我们可以知道f(x)满足条件1和2

有人可能会有这个疑问？图像是离散的，为什么可以用连续的来表示呢？从数学角度来看，离散是连续的一种特例（图像就是一个很好的例子）。

下面我们证明变换后的直方图是均匀的。
由概率论知识，变换后的概率密度：

由变上限函数求导法则可知

反函数的导数等于原函数导数的倒数，所以

所以

看到了吧，变换后的概率密度函数是一个均匀分布，对于图像来说，就是每个灰度级概率都是相等的，达到了我们的目的。
下面我们需要将这个变换函数转换为图像中的表达，图像中，我们可以知道，可以使用求和代替积分，差分代替微分，所以上述的变换函数就是：

其中h(xi)表示直方图中每个灰度级像素的个数， w和 h分别表示图像的宽和高。

参考文献

 《数字图像处理》第3版，冈萨雷斯

点击查看：直方图均衡化的步骤

part2 直方图均衡化算法原理

bin的含义：计算颜色直方图需要将颜色空间划分为若干小的颜色区间，即直方图的bin，通过计算颜色在每个小区间内德像素得到颜色直方图，bin越多，直方图对颜色的分辨率越强，但增加了计算机的负担。
由下面的对比可以很容易理解bin的含义，途中一个柱体就代表一个bin，bin越多，表示越精细。

bin为10

bin为128