【等价转换】—— min/max 的转换与互相转换

2024-05-08 13:33:32

0. min 与 max 的转换

⎧⎩⎨⎪⎪max(X,Y)=X+Y−min(X,Y)min(X,Y)=X+Y−max(X,Y)min(X,Y)+max(X,Y)=X+Y{max(X,Y)=X+Y−min(X,Y)min(X,Y)=X+Y−max(X,Y)min(X,Y)+max(X,Y)=X+Y

\left\{ \begin{split} &\max \left(X, Y\right)=X+Y-\min\left(X,Y\right)\\ &\min\left(X,Y\right)=X+Y-\max\left(X,Y\right)\\ &\min\left(X,Y\right)+\max \left(X, Y\right)=X+Y \end{split} \right.

1. max(X,Y)=nmax(X,Y)=n\max(X,Y)=n 的概率求解

将 max(X,Y)max(X,Y)\max(X,Y) 或 min(X,Y)min(X,Y)\min(X,Y) 首先转换为联合概率的形式，进一步通过如变量间的独立性简化计算：

max(X,Y)=nmax(X,Y)=n\max(X,Y)=n 可拆分成如下三项：

X=n,Y<nX=n,Y<nX=n, Y
X<n,Y=nX<n,Y=nX
X=n,Y=nX=n,Y=nX=n, Y=n

当然可将第三项合并到前两项的任意一项中。

则其：

Pr(max(X,Y)=n)=Pr(X<n,Y=n)+Pr(X=n,Y<n)+Pr(X=n,Y=n)=Pr(X<n,Y=n)+Pr(X=n,Y≤n)Pr(max(X,Y)=n)=Pr(X<n,Y=n)+Pr(X=n,Y<n)+Pr(X=n,Y=n)=Pr(X<n,Y=n)+Pr(X=n,Y≤n)

\begin{split} Pr(\max(X,Y)=n)&=Pr(X

同理可将 min(X,Y)=nmin(X,Y)=n\min(X,Y)=n 拆分为如下三项：

X>n,Y=nX>n,Y=nX>n, Y=n
X=n,Y>nX=n,Y>nX=n, Y>n
X=n,Y=nX=n,Y=nX=n, Y=n

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