长度、面积、体积的相似比原理

一只铁皮水桶，它的容水量是 7 kg。现在，假设你要做一个一样形状的大桶，要求大桶的容水量是 14 kg，应该准备多少材料？

设小桶的半径和高度分别是 a,ba,b，设大桶的的半径和高度为 ka,kbka,kb，则二者的体积之比为：

πa2bπ(ka)2kb=1k3

\frac{\pi a^2b}{\pi (ka)^2kb}=\frac1{k^3}

又由条件可知，二者的体积之比为：1/2 ⇒ k=21/3k=2^{1/3}

二者的表面积之比（所需材料）：

2πab+πa22πkakb+π(ka)2=1k2=122/3=141/3

\frac{2\pi ab+\pi a^2}{2\pi kakb+\pi (ka)^2}=\frac1{k^2}=\frac{1}{2^{2/3}}=\frac{1}{4^{1/3}}

也即大桶所需的铁皮用料是小桶的 41/34^{1/3} 倍。

长度、面积和体积的这种关系，就叫相似比原理；

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