三极管单级放大器输入输出阻抗

三极管能提供三种不同组态的放大模式，即共射极、共集电极和共基极。共发射极模式下，信号源从基极输入，从集电极输出；共集电极模式下，信号源从基极输入，从发射极输出；共基极模式下，信号源从发射极输入，集电极输出。在计算放大器的输入输出阻抗前，先介绍三极管常用的小信号等效模型。

小信号等效模型

图中 $r_{\pi }$ 为交流输入电阻， $r_{o}$ 为交流输出电阻， $C_{\pi}$ 为基极寄生电容， $g_{m}v_{i}$ 为输出电流源， $g_{m}$ 为跨导，即集电极电流变化量与发射结电压变化量的比值，等于 $\beta\cdot i_{b}$ ， $I_{C}$ 等于 $\beta\cdot I_{B}$ 与 $r_{o}$ 上的电流之和：

$I_{C}=I_{S}\cdot \left ( 1+\frac{V_{CE}}{V_{A}} \right )\cdot e^{\frac{V_{BE}}{V_{T}}}$

式中 $V_{A}$ 为三极管I/V特性曲线在横轴上的截距，由工艺决定，一般在几十伏特，当三极管工作在放大区时，其交流输出阻抗等于曲线斜率的倒数， $V_{CE}$ 通过影响 $r_{o}$ 上的电流改变 $I_{C}$ 。

阻抗计算方法

计算交流输入阻抗遵循以下原则：

1、在放大电路直流工作点基础上，输入端串联交流电压源和大电容（隔直）

2、交流分析时，电势不变的节点视为接地（包括直流电压源），电流不变的支路视为开路（包括直流电流源），大电容视为短路，低频时小电容视为开路（比如 $C_{\pi}$ ），绘制交流等效电路

3、应用KVL和KCL定理计算电压源上的电流，输入阻抗等于电压源的电压与电流的比值

计算交流输出阻抗遵循以下原则：

1、在放大电路直流工作点基础上，输出端的负载开路，输出端串联交流电压源和大电容

2、分析电压源是否对 $I_{B}$ 、 $I_{C}$ 、 $I_{E}$ 产生影响

3、交流分析时，电势不变的节点视为接地（包括直流电压源），电流不变的支路视为开路（包括直流电流源），大电容视为短路，低频时小电容视为开路（比如 $C_{\pi}$ ），绘制交流等效电路

4、应用KVL和KCL定理计算电压源上的电流，输出阻抗等于电压源的电压与电流的比值

共射极放大电路

输入阻抗

$C_{1}$ 、 $C_{2}$ 为大电容，视为短路， $C_{\pi}$ 为小电容，视为开路，绘制交流等效电路

输入电阻等于 $R_{b1}$ 、 $R_{b2}$ 和 $r_{\pi}$ 的并联电阻，即

$R_{i}=R_{b1}\parallel R_{b2}\parallel r_{\pi}$

输出阻抗

将输入端 $u_{s}$ 开路，输出端加测试电压源 $u_{t}$ ，首先分析 $u_{t}$ 对 $I_{B}$ 、 $I_{C}$ 和 $I_{E}$ 的影响，在大信号分析中基极电流 $I_{B}$ 满足：

$\left\{\begin{matrix}\frac{V_{CC}-V_{BE}}{R_{b1}}=\frac{V_{BE}}{R_{b2}}+I_{B} \\ I_{B}=\frac{I_{S}}{\beta}\cdot \left (1+\frac{V_{CE}}{V_{A}} \right )\cdot e^{\frac{V_{BE}}{V_{T}}} \end{matrix}\right.$

两式联立可确定 $I_{B}$ ，在小信号分析中， $V_{CE}$ 会叠加小信号 $u_{t}$ ，但相对于厄利电压 $V_{A}$ 可以忽略不计，即 $I_{B}$ 几乎与 $u_{t}$ 无关， $i_{b}=0$ ；交流电流源 $\beta\cdot i_{b}=0$ ，即开路；输出阻抗相当于 $r_{o}$ 与 $R_{c}$ 的并联：

$R_{o}=r_{o}\parallel R_{c}$

共集电极放大电路

输入阻抗

将 $C_{1}$ 短路，绘制交流等效电路：

由于 $u_{o}$ 与 $u_{i}$ 同相， $r_{o}$ 上的电流方向始终与 $\beta i_{b}$ 相反，在输出节点和输入回路分别建立KCL和KVL方程：

$\left\{\begin{matrix}\frac{u_{o}}{R_{e}}+\frac{u_{o}}{r_{o}}=i_{b}+\beta\cdot i_{b} \\ u_{i}=u_{o}+i_{b}\cdot \left ( R_{b}+r_{\pi} \right ) \end{matrix}\right.$

上式可解得：

$u_{i}=\left ( \beta+1 \right )\cdot i_{b}\cdot \left ( r_{o}\parallel R_{e} \right )+i_{b}\cdot \left ( R_{b}+r_{\pi} \right )$

于是输入阻抗等于：

$R_{i}=\frac{u_{i}}{i_{b}}=\left ( \beta+1 \right )\cdot \left ( r_{o}\parallel R_{e} \right )+\left ( R_{b}+r_{\pi} \right )$

输出阻抗

将输入端 $u_{s}$ 短路，输出端加测试电压源 $u_{t}$ ，当 $u_{t}$ 为正时，发射极电位上升，发射结电压降低， $I_{B}$ 、 $I_{C}$ 和 $I_{E}$ 减小，绘制交流等效电路：

由于 $u_{t}$ 与 $\beta i_{b}$ 反相， $r_{o}$ 上的电流方向始终与 $\beta i_{b}$ 相同，在输出节点和输入回路分别建立KCL和KVL方程：

$\left\{\begin{matrix}i_{t}=i_{b}+\beta i_{b}+\frac{u_{t}}{r_{o}}+\frac{u_{t}}{R_{e}} \\ i_{b}=\frac{u_{t}}{R_{b}+r_{\pi}} \end{matrix}\right.$

上式可解得：

$R_{o}=\frac{u_{t}}{i_{t}}=\frac{1}{\frac{\beta+1}{R_{b}+r_{\pi}}+\frac{1}{r_{o}}+\frac{1}{R_{e}}}=\frac{R_{b}+r_{\pi}}{\beta+1}\parallel r_{o}\parallel R_{e}$

共基极放大电路

输入阻抗

$C_{1}$ 和 $C_{2}$ 短路，绘制交流等效电路：

分别在x节点和输出节点建立KCL方程：

$\left\{\begin{matrix}\frac{u_{i}-u_{x}}{R_{e}}=i_{b}+\beta i_{b}+\frac{u_{x}-u_{o}}{r_{o}} \\ \frac{u_{x}-u_{o}}{r_{o}}+\beta i_{b}=\frac{u_{o}}{R_{c}} \end{matrix}\right.$

又 $i_{b}=u_{x}/r_{\pi}$ ，与上式联立可得到 $u_{i}$ 和 $i_{i}$ 的关系，为方便计算，假设 $r_{o}=\infty$ ，则：

$u_{i}=i_{e}\cdot R_{e}+i_{b}\cdot r_{\pi}$

故输入阻抗为：

$R_{i}=\frac{u_{i}}{i_{e}}=R_{e}+\frac{r_{\pi}}{1+\beta}$

输出阻抗

将输入端 $u_{s}$ 短路，输出端加测试电压源 $u_{t}$ ，首先分析 $u_{t}$ 对 $I_{B}$ 、 $I_{C}$ 和 $I_{E}$ 的影响，在大信号分析中集电极电流 $I_{E}$ 满足：

$\left\{\begin{matrix}V_{BE}+I_{E}\cdot R_{e}=V_{EE} \\ I_{E}=\frac{\beta+1}{\beta}\cdot I_{S}\cdot \left ( 1+\frac{V_{CE}}{V_{A}} \right )\cdot e^{\frac{V_{BE}}{V_{T}}} \end{matrix}\right.$

同理，小信号 $u_{t}$ 对 $I_{E}$ 影响可以忽略不计，即 $i_{e}=0$ ，则 $\beta i_{b}=0$ （交流电流源开路），且 $u_{x}=0$ （x节点视为接地），则输出阻抗相当于 $R_{c}$ 和 $r_{o}$ 的并联：

$R_{o}=R_{c}\parallel r_{o}$

参考文献：《analysis and design of analog integrated circuits, 4th edition》