散度、旋度的计算

笔记来源：Khancademy/MultiVariableDerivatives/curl-grant-video

散度是描述空气从周围汇合到某一处或从某一处流散开来程度的量

旋度是向量分析中的一个向量算子，可以表示三维向量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。这个向量提供了向量场在这一点的旋转性质

1. 二维散度的计算

二维向量场例子
假设二维平面中的每个点为每个粒子，粒子会沿着向量场的方向移动
在某坐标点附近区域中我们观察粒子通过该区域粒子的数量变化

1.1 散度等于0

某坐标点附近的粒子，进入该区域的粒子数量等于离开该区域的粒子数量，所以它的散度=0=0=0

1.2 散度大于0

二维向量场例子
坐标原点附近的粒子，由坐标原点向外发散，这个区域内的粒子减少（都发散到了这个区域外侧）所以它的散度>0\gt 0>0

1.3 散度小于0

二维向量场例子
坐标原点附近的粒子，由外侧向坐标原点收敛，这个区域内的粒子增加（都收敛到了这个区域内侧）所以它的散度<0\lt 0<0

1.4 关于计算的具体解释

以下仅仅对散度大于0的情况作了说明，其他情况类比
如果向量函数仅仅含x方向的表达式

如果向量函数仅仅含y方向的表达式

如果向量函数含x、y方向的表达式

二维散度
v(x,y)=[P(x,y)Q(x,y)]divv(x,y)=∇⋅v[∂∂x∂∂y]⋅[P(x,y)Q(x,y)]divv(x,y)=∂P∂x+∂Q∂y\boldsymbol{v}(x,y)= \left[ \begin{array}{l} P(x,y)\\ Q(x,y) \end{array} \right]\\ ~\\ div\,\boldsymbol{v}(x,y)=\nabla\cdot\boldsymbol{v}\\ ~\\ \left[ \begin{array}{l} \frac{\partial }{\partial x}\\ \frac{\partial }{\partial y} \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{l} P(x,y)\\ Q(x,y) \end{array} \right] ~\\ ~\\ div\,\boldsymbol{v}(x,y)=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y} v(x,y)=[P(x,y)Q(x,y)] divv(x,y)=∇⋅v [∂x∂∂y∂]⋅[P(x,y)Q(x,y)] divv(x,y)=∂x∂P+∂y∂Q
例子：

2. 三维散度的计算

三维散度
v(x,y,z)=[P(x,y)Q(x,y)R(x,y)]divv(x,y)=∇⋅v[∂∂x∂∂y∂∂z]⋅[P(x,y)Q(x,y)R(x,y)]divv(x,y,z)=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z\boldsymbol{v}(x,y,z)= \left[ \begin{array}{l} P(x,y)\\ Q(x,y)\\ R(x,y) \end{array} \right]\\ ~\\ div\,\boldsymbol{v}(x,y)=\nabla\cdot\boldsymbol{v}\\ ~\\ \left[ \begin{array}{l} \frac{\partial }{\partial x}\\ \frac{\partial }{\partial y}\\ \frac{\partial }{\partial z} \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{l} P(x,y)\\ Q(x,y)\\ R(x,y) \end{array} \right] ~\\ ~\\ div\,\boldsymbol{v}(x,y,z)=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} v(x,y,z)=⎣⎡P(x,y)Q(x,y)R(x,y)⎦⎤ divv(x,y)=∇⋅v ⎣⎡∂x∂∂y∂∂z∂⎦⎤⋅⎣⎡P(x,y)Q(x,y)R(x,y)⎦⎤ divv(x,y,z)=∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R

3. 二维旋度的计算

旋度为正（逆时针为正）

Q(x,y)起始为负（左边的Q）随着x的增加，Q增加（Q由指向下到0到指向上）
∂Q∂x>0\frac{\partial Q}{\partial x}\gt 0 ∂x∂Q>0
P(x,y)起始为正（下边的P），随着y的增加，P减小（P由指向右到0到指向左）
∂P∂y<0\frac{\partial P}{\partial y}\lt 0 ∂y∂P<0
curlv(x,y)=∇×v(∂∂x∂∂y)×(P(x,y)Q(x,y))∂∂x(Q(x,y))−∂∂y(P(x,y))curlv(x,y)=∂Q∂x−∂P∂ycurl\,\boldsymbol{v}(x,y)=\nabla×\boldsymbol{v}\\ ~\\ \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \end{pmatrix}× \begin{pmatrix} P(x,y)\\ Q(x,y) \end{pmatrix}\\ ~\\ \frac{\partial}{\partial x}(Q(x,y))-\frac{\partial}{\partial y}(P(x,y))\\ ~\\ curl\,\boldsymbol{v}(x,y)=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} curlv(x,y)=∇×v (∂x∂∂y∂)×(P(x,y)Q(x,y)) ∂x∂(Q(x,y))−∂y∂(P(x,y)) curlv(x,y)=∂x∂Q−∂y∂P
例1：

计算（3,0）点的旋度为27，旋度大于0，表示该坐标点附近逆时针旋转

例2：

计算（0,3）点的旋度为-27，旋度小于0，表示该坐标点附近顺时针旋转

4. 三维旋度的计算

三维向量场的例子

用空间某点的球表示该点附近的旋转情况
向量方向表示旋转方向，向量大小表示旋转速度大小（角速度）

三维旋度计算

curlv(x,y,z)=∇×v(∂∂x∂∂y∂∂z)×(P(x,y,z)Q(x,y,z)R(x,y,z))i=[100]j=[010]k=[001]det(ijk∂∂x∂∂y∂∂zP(x,y,z)Q(x,y,z)R(x,y,z))(∂∂y∂∂zQ(x,y,z)R(x,y,z))i−(∂∂x∂∂zP(x,y,z)R(x,y,z))j+(∂∂x∂∂yP(x,y,z)Q(x,y,z))k(∂R∂y−∂Q∂z)i−(∂R∂x−∂P∂z)j+(∂Q∂x−∂P∂y)k(∂R∂y−∂Q∂z)i+(∂P∂z−∂R∂x)j+(∂Q∂x−∂P∂y)kcurlv(x,y,z)=(∂R∂y−∂Q∂z∂P∂z−∂R∂x∂Q∂x−∂P∂y)curl\,\boldsymbol{v}(x,y,z)=\nabla×\boldsymbol{v}\\ ~\\ \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix}× \begin{pmatrix} P(x,y,z)\\ Q(x,y,z)\\ R(x,y,z) \end{pmatrix}\\ ~\\ \boldsymbol{i}=\left[ \begin{array}{l} 1\\ 0\\ 0 \end{array} \right] \quad\boldsymbol{j}=\left[ \begin{array}{l} 0\\ 1\\ 0 \end{array} \right] \quad\boldsymbol{k}=\left[ \begin{array}{l} 0\\ 0\\ 1 \end{array} \right]\\ ~\\ det\begin{pmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k}\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ P(x,y,z) & Q(x,y,z) & R(x,y,z) \end{pmatrix} ~\\ ~\\ \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ Q(x,y,z) & R(x,y,z) \end{pmatrix}\boldsymbol{i}- \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial z}\\ P(x,y,z) & R(x,y,z) \end{pmatrix}\boldsymbol{j}+ \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y}\\ P(x,y,z) & Q(x,y,z) \end{pmatrix}\boldsymbol{k}\\ ~\\ (\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})\boldsymbol{i}-(\frac{\partial R}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial z})\boldsymbol{j}+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\boldsymbol{k}\\ ~\\ (\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})\boldsymbol{i}+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})\boldsymbol{j}+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\boldsymbol{k}\\ ~\\ curl\,\boldsymbol{v}(x,y,z)= \begin{pmatrix} \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\\ ~\\ \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\\ ~\\ \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \end{pmatrix} curlv(x,y,z)=∇×v ⎝⎛∂x∂∂y∂∂z∂⎠⎞×⎝⎛P(x,y,z)Q(x,y,z)R(x,y,z)⎠⎞ i=⎣⎡100⎦⎤j=⎣⎡010⎦⎤k=⎣⎡001⎦⎤ det⎝⎛i∂x∂P(x,y,z)j∂y∂Q(x,y,z)k∂z∂R(x,y,z)⎠⎞ (∂y∂Q(x,y,z)∂z∂R(x,y,z))i−(∂x∂P(x,y,z)∂z∂R(x,y,z))j+(∂x∂P(x,y,z)∂y∂Q(x,y,z))k (∂y∂R−∂z∂Q)i−(∂x∂R−∂z∂P)j+(∂x∂Q−∂y∂P)k (∂y∂R−∂z∂Q)i+(∂z∂P−∂x∂R)j+(∂x∂Q−∂y∂P)k curlv(x,y,z)=⎝⎛∂y∂R−∂z∂Q ∂z∂P−∂x∂R ∂x∂Q−∂y∂P⎠⎞

例子：

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