矩阵快速幂分析+POJ3070

之前一直听说快速幂算法，但是也一直没有看过（好吧就是自己懒emmmm），上周月赛真的是沉重的打击啊，所以就好好的看了一下这个算法，整数快速幂和矩阵快速幂，反正思想都是一样的。

先看整数快速幂：

如果我们要算一个数的19次方，很简单，一个for循环不就好了嘛，但是如果是1900、1900000、19000000000呢？显然花费的时间就不是很乐观了，而用的时间多是因为乘的次数也就是计算的次数多，那么，如果我们用1+2+4+8+4来计算19次方呢？比起之前计算的19次，只要算5次就好了，当数据比较大时显然时间是会省很多的。

而整数快速幂的思想就是看数字的0 1表示，然后按位运算，比如算3的19次方，19是10011，就是2^4+2^1+2^0，起初让base=2^0=1,当你算的这一位是0，就可以跳过，只让base成倍增大，（因为你算下一位时base=base*3)，当这一位是1的时候就乘上。

下面是整数快速幂的模板代码：

#include <iostream>int mian(void)
{int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);//计算a的b次方 int re=1;while(b){if(b&1)//看b的二进制表示 现在运算的这一位是0还是1 {re=re*a;}a=a*a;b=b>>1;//b右移 }printf("%d\n",re);return 0;
}

矩阵快速幂的计算方法和整数快速幂其实是一样的，只不过把数的乘法换成了矩阵运算而已。（矩阵乘法如果不太清楚的请自行百度）……但是矩阵快速幂之所以叫矩阵快速幂（肯定还是有不一样的嘛）它反映的其实是一种递推，其中最典型的就是斐波那契数列的求解问题。（POJ3070）下面结合例题来说。

In the Fibonacci integer sequence, F0 = 0, F1 = 1, and Fn = Fn − 1 + Fn − 2 for n ≥ 2. For example, the first ten terms of the Fibonacci sequence are:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

An alternative formula for the Fibonacci sequence is

Given an integer n, your goal is to compute the last 4 digits of Fn.

Input

The input test file will contain multiple test cases. Each test case consists of a single line containing n (where 0 ≤ n ≤ 1,000,000,000). The end-of-file is denoted by a single line containing the number −1.

Output

For each test case, print the last four digits of Fn. If the last four digits of Fn are all zeros, print ‘0’; otherwise, omit any leading zeros (i.e., print Fn mod 10000).

Sample Input

Sample Output

Hint

As a reminder, matrix multiplication is associative, and the product of two 2 × 2 matrices is given by

Also, note that raising any 2 × 2 matrix to the 0th power gives the identity matrix:

-----------------------------------------------------------------我只是个分割线哇-------------------------------------------------------------------------------

分析

其实题目有提示的，可以看这个矩阵

显然，需要算出

然后等式左边矩阵的第一行第一列就是递推下去的下一项。

这不是求n次方嘛，马上想到整数快速幂的思想

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define maxn 3using namespace std;struct node
{long long a[maxn][maxn];
};node qmul(node g,node b){    //这个是矩阵的乘法运算，相当于整数快速幂中的乘上的那个数node c;for(int i=0;i<2;i++){for(int j=0;j<2;j++){c.a[i][j]=0;for(int k=0;k<2;k++){c.a[i][j]=(c.a[i][j]+(g.a[i][k]*b.a[k][j]))%10000;//c.a[i][j]=c.a[i][j]%Mod;}}}return c;
}
node mul(node mid,long long n)   //这个是中心思想，不过基本上和整数快速幂一样的
{node temp;for(int i=0;i<2;i++)   //整数快速幂初始化为1，矩阵当然是初始化为单位阵啦{for(int j=0;j<2;j++){temp.a[i][j]=(i==j);   //temp这个单位阵相当于上面例子中的re了，乘法器（是叫这个名字吧Orz）}}while(n){if(n&1){temp=qmul(temp,mid);}n/=2;mid=qmul(mid,mid);}return temp;
}
int main(void)
{long long n;node mid;   //定义了那个需要乘n次方的那个矩阵，相当于上面整数快速幂例子中的awhile(~scanf("%lld",&n)){if(n==0){printf("0\n");continue;}if(n==-1)break;mid.a[0][0]=1;mid.a[0][1]=1;mid.a[1][0]=1;mid.a[1][1]=0;node re=mul(mid,n);printf("%lld\n",re.a[0][1]);}
}

emmmmm感觉自己真是垃圾啊，有不对的还请大佬们指正，感谢！

呼呼呼写完了真开心要去睡觉了

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