[Luogu P4630] [BZOJ 5463] [APIO2018] Duathlon 铁人两项

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题目描述

比特镇的路网由 mmm 条双向道路连接的 nnn 个交叉路口组成。

最近，比特镇获得了一场铁人两项锦标赛的主办权。这场比赛共有两段赛程：选手先完成一段长跑赛程，然后骑自行车完成第二段赛程。

比赛的路线要按照如下方法规划：

先选择三个两两互不相同的路口 s,cs, cs,c和 fff，分别作为比赛的起点、切换点（运动员在长跑到达这个点后，骑自行车前往终点）、终点。
选择一条从 sss 出发，经过 ccc 最终到达 fff 的路径。考虑到安全因素，选择的路径经过同一个点至多一次。

在规划路径之前，镇长想请你帮忙计算，总共有多少种不同的选取 s,cs, cs,c和 fff的方案，使得在第 222步中至少能设计出一条满足要求的路径。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含两个整数 nnn和 mmm ，分别表示交叉路口和双向道路的数量。

接下来 mmm行，每行两个整数 vi,uiv_i, u_ivi,ui 。表示存在一条双向道路连接交叉路口 vi,uiv_i, u_ivi,ui (1≤vi,ui≤n,vi≠ui)(1 ≤ v_i, u_i ≤ n,v_i \neq u_i)(1≤vi,ui≤n,vi̸=ui)。

保证任意两个交叉路口之间，至多被一条双向道路直接连接。

输出格式：

输出一行，包括一个整数，表示能满足要求的不同的选取 s,cs, cs,c 和 fff 的方案数。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

输入样例#2：

输出样例#2：

解题分析

显然缩出点双后，确定两点之间可以选的中间点就是路径上所有点和点双的点数之和。

考虑把单独一条边也视为一个点双，那么建出圆方树，把方点的权值设为点双的大小，原点的权值设为−1-1−1，路径上可选中间点数恰好就是路径和，然后可以转化为计算每点的贡献。

总复杂度O(N)O(N)O(N)。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define R register
#define IN inline
#define MX 200500
#define gc getchar()
#define ll long long
template <class T>
IN void in(T &x)
{x = 0; R char c = gc;for (; !isdigit(c); c = gc);for (;  isdigit(c); c = gc)x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48;
}
template <class T> IN T max(T a, T b) {return a > b ? a : b;}
template <class T> IN T min(T a, T b) {return a < b ? a : b;}
int n, m, top, arr, dcnt, sum, cnt;
int head[MX], val[MX], siz[MX], dfn[MX], low[MX], sta[MX], h[MX];
ll ans;
struct Edge {int to, nex;} edge[MX << 2];
IN void add1(R int from, R int to)
{edge[++cnt] = {to, head[from]}, head[from] = cnt;}
IN void add2(R int from, R int to)
{edge[++cnt] = {to, h[from]}, h[from] = cnt;}
void tarjan(R int now)
{dfn[now] = low[now] = ++dcnt;sta[++top] = now; val[now] = -1; ++sum;for (R int i = head[now]; i; i = edge[i].nex){if (!dfn[edge[i].to]){tarjan(edge[i].to);low[now] = min(low[now], low[edge[i].to]);if (low[edge[i].to] == dfn[now]){add2(now, ++arr); val[arr] = 1; int tp = 0;do{tp = sta[top--]; add2(arr, tp);++val[arr];} while (tp ^ edge[i].to);}}else low[now] = min(low[now], dfn[edge[i].to]);}
}
void solve(R int now)
{if (now <= n) siz[now] = 1;for (R int i = h[now]; i; i = edge[i].nex){solve(edge[i].to);ans += 1ll * siz[now] * siz[edge[i].to] * val[now];siz[now] += siz[edge[i].to];}ans += 1ll * (sum - siz[now]) * siz[now] * val[now];
}
int main(void)
{int a, b; in(n), in(m); arr = n;for (R int i = 1; i <= m; ++i){in(a), in(b);add1(a, b), add1(b, a);}for (R int i = 1; i <= n; ++i)if (!dfn[i]) sum = 0, tarjan(i), solve(i);printf("%lld\n", ans * 2);
}