在学习通感一体化过程中对雷达中的匹配滤波和脉冲压缩一直很晕，在看了几个视频和博客后有了一点自己的理解，大概写一下以防忘记。

1 学习资料

匹配滤波器与脉冲压缩:对匹配滤波器和脉冲压缩的直观理解
西电魏青老师雷达原理第60节
信号与系统研讨（一）匹配滤波器
雷达原理---匹配滤波器原理及MATLAB仿真

2 脉冲压缩的目的——雷达距离分辨率与最大作用距离的矛盾

匹配滤波器是实现脉冲压缩的手段，而脉冲压缩的目的主要是为了解决雷达距离分辨率性能的提升和最大作用距离之间的矛盾，这里简单先介绍一下雷达的距离分辨率和最大作用距离的概念

雷达的距离分辨率——若有两个待探测目标在空间上离的较近，雷达能够分辨出是两个目标的目标之间的最小距离。也就是如果比这个距离还小的话，雷达就无法判断出那是两个目标。在进行性能优化时，雷达的距离分辨率越小则分辨性能越优。
雷达最大作用距离——雷达能探测到目标的最远距离，超过这个距离雷达就“看不见”了，雷达只能对在最大作用距离内的目标进行各项参数的估计

假设雷达发射的是如下图所示的脉冲信号，一个脉冲信号的持续时间是 $\tau$ 。若空间中存在两个位置相近的探测目标，那么在相近的时间内，雷达将会接收到来自两个目的的回波。当两个目标的回波存在脉冲间隔时，雷达可以分辨出这是两个目标的回波。而当两个目标的回波存在重叠时，信号连成一片，雷达将会认为这是一个目标的回波信号，不能判断出这是两个目标。故可以理解为B目标的回波不能侵入A目标回波的矩形包络内。

若设A目标回波的信号持续时间为 $\tau$ ，电磁波的传播速度为光速 $c$ ，A目标接收到回波信号的时间为 $T_{AR}$ ，那么为使矩形包络不重合，B目标接收到雷达回波信号的时间需要满足

$T_{BR}\leq T_{AR}-\tau | T_{BR}\geq T_{AR}+\tau$

若目标B回波信号到达时间 $T_{BR} = T_{AR} +\tau$ ,那么目标A和B与雷达的距离可以分别写为

$R_{A}=\frac{1}{2}cT_{AR}$

$R_{B}=\frac{1}{2}cT_{BR}=\frac{1}{2}c(T_{AR}+\tau )$

故有A和B之间的最小可分辨距离也就是雷达的距离分辨率可以写为：

$\Delta R=R_{B}-R_{A}=\frac{1}{2}c\tau$

又有用能量表示的雷达作用距离的公式如下：

$R_{max}=[\frac{P_t\tau G_{t}^{2}\lambda^{2}\sigma }{4\pi^{3} kT_{0}FD_{0}C_{B}}]^{\frac{1}{4}}$

其中 $P_{t}\tau$ 代表信号能量，由上面 $\Delta R$ 及 $R_{max}$ 的公式可知，当 $\tau$ 减小时， $\Delta R$ 减小，雷达的距离分辨率减小，距离分辨性能提升，但是 $R_{max}$ 却也会减小，雷达的最大作用距离减小，这是我们不希望看到的，故有雷达距离分辨性能提升和雷达最大作用距离减小之间的矛盾。而这个矛盾需要通过脉冲压缩来解决。

2 脉冲压缩原理——怎么解决矛盾

根据上述分析可知，不管是雷达的距离分辨性能还是雷达的最大作用距离均与雷达脉冲的持续时间，也就是 $\tau$ 有关。而要使雷达的最大作用距离增大，我们需要增大 $\tau$ ，要使雷达的距离分辨性能增大则需要减小 $\tau$ ，那如果在能够在计算雷达的作用距离时有一个较大的 $\tau$ ，而对接收到的雷达回波脉冲进行处理检测目标是否存在时有一个较小的 $\tau$ ，那就可以实现作用距离和分辨性能的双重优化。值得注意的是，虽然是一个 $\tau$ ，但是它对雷达最大作用距离的影响主要是在发射端，而对雷达分辨率的影响主要是在接收端。而匹配滤波主要就是在接收端对雷达回波进行脉冲压缩，这里的脉冲压缩指的就是通过处理减小脉冲的持续时间 $\tau$ ， $\tau$ 减小，脉冲变窄，也就是实现了脉冲“压缩”。脉冲变窄后，两个不同目标的回波脉冲自然就更不易重合，从而提高了雷达的距离分辨率。

3 匹配滤波器——实现脉冲压缩

那么如何实现脉冲变窄呢？这就需要匹配滤波器了

3.1 匹配滤波器原理

我们都知道滤波器是借助系统函数从频率域上对信号进行筛选，时域上的系统函数称为响应函数 $h(t)$ ，而频域上的系统函数称为 $H(w)$ 或者 $H(f)$ ，这里主要用到 $H(f)$ 。频率域上的函数具有幅频特性和相频特性，也就是

$H(f)=|H(f)|e^{j\phi (f)}$

一个匹配滤波器的幅频函数和相频函数如下图所示：

匹配滤波器的幅频特性函数可以对一定频率的信号进行筛选，去除不需要的频率分量。匹配滤波器的系统函数 $H(f)$ 被设计为取滤波器输入信号频谱 $S_{r}(f)$ 的复共轭。故匹配滤波器的相频特性被设计为与滤波器输入信号的相位相反。这样做可以带来什么好处呢？

如上图所示，当一个接收回波信号进入匹配滤波器时，可对其做傅里叶变换得到它的频域信号

$S_{r}(f)=|S_{r}(f)|e^{j\theta (f)}$

输出信号的频域表达式就可以写成

$Y(f)=|H(f)||S_{r}(f)|e^{j\phi (f)}e^{j\theta (f)}=|H(f)||S_{r}(f)|e^{j(\phi (f)+\theta (f))}$

由于匹配滤波器的相位与输入信号相反，故有 $\phi (f) =-\theta (f)$ ，

$Y(f)=|H(f)||S_{r}(f))|$

也就是经过匹配滤波后的信号在每个频率分量上的相位都被处理为0，那么在时域上，各个频率分量的相位就是相同的，由下图可以看出，当相位相同时，不同频率分量的峰值处的时刻就重合了。

那么在时域上对各个频率分量进行相加，得到的时域信号就会是一个高峰值窄脉宽的信号，如下图左下角所示。由左下角的图可以看出原始信号经过匹配滤波后脉冲尖峰的范围变小，又宽脉冲变为窄脉冲，从而实现了脉冲压缩。

3.2 雷达接收机中的匹配滤波器系统函数（补充）

上述大概对匹配滤波进行脉冲压缩的基本原理进行了阐述，且为了便于理解给出了基本的系统函数表达式。根据上述原理，在雷达接收机中，匹配滤波器通过将不同频率分量的相位调整一致使其峰值对准并在时域加和，不仅可以实现脉冲压缩输出窄脉冲信号，还可以提高输出信号的信噪比，使滤波器输出信噪比在某一特定时刻达到最大，而这一特定时刻就代表了目标所在的时刻 $t_{0}$ ，可以根据此时刻测出目标与雷达的距离。

一个重点是，在接收到回波信号之前，接收机是不知道 $t_{0}$ 的值的，接收机需要找到何时匹配滤波器的输出达到最大值，也就是何时输出脉冲的尖峰，并把这个时刻作为 $t_{0}$ ，借助 $t_{0}$ 就可以知道回波信号 $s(t-t_{0})$ 相对于发射信号 $s(t)$ 时移了多少，从而测算出距离。

其中在雷达接收机的匹配滤波器中系统函数被表示为

$h(t)=Ks^{*}(t_{0}-t)$

$H(f)=KS^{*}(f)e^{-j2\pi ft_{0}}$

$H(w)=KS^{*}(w)e^{-jwt_{0}}$

$s(t)$ 表示雷达发射机的发射信号，接收回波信号 $s(t-t_{0})$ 的频谱函数为 $S_{r}(f)=S(f)e^{2\pi ft_{0}}$ ，对其取复共轭就可以得到匹配滤波器的传递函数 $H(f)$ ，故 $H(f)$ 中的 $t_{0}$ 其实就是回波信号的时延。同时 $t_{0}$ 也可以被看作是抽样判决时刻，将 $t_{0}$ 时刻的取值和门限值做对比从而判断是否存在目标。

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