泰勒(Taylor)展开式(泰勒级数)
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泰勒公式
余项
1、佩亚诺(Peano)余项:
2、施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项:
3、拉格朗日(Lagrange)余项:
4、柯西(Cauchy)余项:
5、积分余项:
带佩亚诺余项
参考资料
泰勒公式
泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。
若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数,且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数,则对闭区间[a,b]上任意一点x,成立下式:
其中 表示f(x)的n阶导数,等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式,剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项,是(x-x0)n的高阶无穷小。
余项
泰勒公式的余项Rn(x)可以写成以下几种不同的形式:
1、佩亚诺(Peano)余项:
这里只需要n阶导数存在
2、施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项:
其中θ∈(0,1),p为任意正实数。(注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项)
3、拉格朗日(Lagrange)余项:
其中θ∈(0,1)。
4、柯西(Cauchy)余项:
其中θ∈(0,1)。
5、积分余项:
其中以上诸多余项事实上很多是等价的。
带佩亚诺余项
以下列举一些常用函数的泰勒公式 :
参考资料
泰勒的通俗理解:https://blog.csdn.net/SoHardToNamed/article/details/80550935
泰勒的更深层次的理解:https://www.zhihu.com/question/25627482
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