常见几何计算

基础计算

向量点乘

向量点乘：a→⋅b→=|a||b|cosθa→⋅b→=|a||b|cosθ\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |a||b| cos \theta。
用途：向量点乘常用于判断向量是否垂直【垂直向量点乘为0】，向量的夹角大小。
几何意义：点乘以后是一个值，值的大小为向量模相乘再乘以coscoscos值。
代数计算：(x1,y1,z1)⋅(x2,y2,z2)=x1x2+y1y2+z1z2(x1,y1,z1)⋅(x2,y2,z2)=x1x2+y1y2+z1z2(x1,y1,z1) \cdot (x2,y2,z2) = x1x2+ y1y2+z1z2

向量叉乘

向量叉乘：|a→×b→|=|a||b|sinθ|a→×b→|=|a||b|sinθ|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = |a||b|sin \theta 即：|c|=|a×b|=|a||b|sin<a,b>|c|=|a×b|=|a||b|sin<a,b>|c|=|a×b|=|a| |b|sin 用途：向量叉乘常用于计算法线，计算体积面积等。
几何意义：叉乘得到的是一个向量，向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。
代数计算：
假设a→=(ax,ay,az),b→=(bx,by,bz)a→=(ax,ay,az),b→=(bx,by,bz)\overrightarrow{a} = (a_{x},a_{y},a_{z}),\overrightarrow{b} = (b_{x},b_{y},b_{z})，则：
a→×b→=(aybz−azby)i+(azbx−axbz)j+(axby−aybx)ka→×b→=(aybz−azby)i+(azbx−axbz)j+(axby−aybx)k\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = (a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})i+(a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z})j+(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})k
转化为三阶行列式：

∣∣∣∣∣iaxbxjaybykazbz∣∣∣∣∣|ijkaxayazbxbybz|

\begin{vmatrix} i & j & k \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{vmatrix}
二维情况：
二维的简化情况：

a→×b→=(axby−aybx)ka→×b→=(axby−aybx)k

\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = (a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})k

点和线之间计算

点是否在直线上

直线的两点为AB，判定点是C，只需要计算三角形ABC的面积，面积为0，代表三点在同一条线上。使用叉乘：a→×b→=|a||b|sinθa→×b→=|a||b|sinθ\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = |a||b|sin \theta

点是否在线段上

判断点是否在直线AB上，判断过程同上。
点C需要在以AB为对角线的矩形内，这限制在AB线段内。【C的每一维坐标必须在AB之间】

点是否在三角形内部

面积法
三角形三个点ABC和点P。计算ABC面积，ABP面积，ACP面积，BCP面积，如果后三个面积相加等于ABC面积，说明在三角形内部。
退化到二维：叉乘方向
如果点在三角形内部，则按照逆时针，满足P在三条边的左边，可以根据叉乘方向判断，AB和PA叉乘，如果三个叉乘方向都相同，说明在三角形内部。

点到直线的距离

几何做法
假设给出三个点，A，B和C，求点C到点A、B定出的直线间距离。首先计算向量CB和向量CA的叉乘，底边AB，得到点到直线距离。

d=CB×CA∣AB∣d=CB×CA∣AB∣

d = \frac{CB \times CA}{\mid AB\mid}
注：叉乘的结果是平行四边形的面积，除以一条边，即可得到高，即点到直线的距离
解析做法
其中Ax0+By0+C=0Ax0+By0+C=0Ax_{0}+By_{0}+C = 0是直线方程：

d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2−−−−−−−√d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2

d=\frac{\mid Ax_{0}+By_{0}+C\mid}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}

直线之间的距离

几何做法
在一条直线上选取一个点，在另外一条直线选取两点，转化为计算点到直线距离。
解析做法
只有两条直线相互平行，才有距离，因此解析方程的AB相同：

d=∣C2−C1∣A2+B2−−−−−−−√d=∣C2−C1∣A2+B2

d=\frac{\mid C_{2}-C_{1}\mid}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}

点到线段的距离

首先判断线段两点是否重合，如果重合，转化为点到点距离；
判断点是否在直线上，如果在直线上：进一步判断是否在线段内，如果在，距离为0；否则计算到两个顶点的距离，取较小值。
计算AC，BC的夹角，如果都为锐角，则最短距离即为点到直线距离。
否则，计算到两点的最近距离。

点到三角形距离

题设：P和三角形ABC
1. 判断三角形三个点是否重合，重合转为点到点距离；
2. 判断三角形是否有两点重合，重合转为点到线段距离；
3. 判断三角形是否构成：是否三点共线，如果共线计算点到两条线段AB和AC的最短距离就可以。
3. 三角形内任意一点可以表示为：T=A+t1AB−→−+t2AC−→−T=A+t1AB→+t2AC→T = A +t_{1}\overrightarrow{AB}+t_{2}\overrightarrow{AC}，t1,t2t1,t2t_{1},t_{2}为0~1之间而且t1+t2≤1t1+t2≤1t_{1}+t_{2}\le 1
4. 则对于PT垂直于AB和AC可以得到两个方程，解方程可以得到t1,t2t1,t2t_{1},t_{2}
5. 根据t1,t2t1,t2t_{1},t_{2}计算出垂足点，并判断是否在三角形内，如果在内，则距离即为PT
6. 否则，计算垂足点到三角形三条边的最短距离d，点到三角形最短距离：sqrt(d^2 + PT^2)

完整的代码见github地址

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