基于偏微分方程的图像分割(二)Snake模型 Matlab实现

一、Snake模型[3]的数字原理

来自[1]

1987年Kass等人共同发表了题为“Snake:Active contour models”的论文,首次引进了变分法,提出了运用活动轮廓模型进行图像分割的思想.

二、原理解释

来自[2]

Snake模型首先需要在感兴趣区域的附近给出一条初始曲线，接下来最小化能量泛函，让曲线在图像中发生变形并不断逼近目标轮廓。

Kass等提出的原始Snakes模型由一组控制点：v(s)=[x(s), y(s)] s∈[0, 1] 组成，这些点首尾以直线相连构成轮廓线。其中x(s)和y(s)分别表示每个控制点在图像中的坐标位置。 s 是以傅立叶变换形式描述边界的自变量。在Snakes的控制点上定义能量函数（反映能量与轮廓之间的关系）：

其中第1项称为弹性能量是v的一阶导数的模，第2项称为弯曲能量，是v的二阶导数的模，第3项是外部能量（外部力），在基本Snakes模型中一般只取控制点或连线所在位置的图像局部特征例如梯度：

也称图像力。（当轮廓C靠近目标图像边缘，那么C的灰度的梯度将会增大，那么上式的能量最小，由曲线演变公式知道该点的速度将变为0，也就是停止运动了。这样，C就停在图像的边缘位置了，也就完成了分割。那么这个的前提就是目标在图像中的边缘比较明显了，否则很容易就越过边缘了。）

弹性能量和弯曲能量合称内部能量（内部力），用于控制轮廓线的弹性形变，起到保持轮廓连续性和平滑性的作用。而第三项代表外部能量，也被称为图像能量，表示变形曲线与图像局部特征吻合的情况。内部能量仅仅跟snake的形状有关，而跟图像数据无关。而外部能量仅仅跟图像数据有关。在某一点的α和β的值决定曲线可以在这一点伸展和弯曲的程度。

最终对图像的分割转化为求解能量函数Etotal(v)极小化（最小化轮廓的能量）。在能量函数极小化过程中，弹性能量迅速把轮廓线压缩成一个光滑的圆，弯曲能量驱使轮廓线成为光滑曲线或直线，而图像力则使轮廓线向图像的高梯度位置靠拢。基本Snakes模型就是在这3个力的联合作用下工作的。

因为图像上的点都是离散的，所以我们用来优化能量函数的算法都必须在离散域里定义。所以求解能量函数Etotal(v)极小化是一个典型的变分问题（微分运算中，自变量一般是坐标等变量，因变量是函数；变分运算中，自变量是函数，因变量是函数的函数，即数学上所谓的泛函。对泛函求极值的问题，数学上称之为变分法）。

在离散化条件（数字图像）下，由欧拉方程可知最终问题的答案等价于求解一组差分方程：（欧拉方程是泛函极值条件的微分表达式，求解泛函的欧拉方程，即可得到使泛函取极值的驻函数，将变分问题转化为微分问题。）

记外部力 F = −∇ P， Kass等将上式离散化后，对x(s)和y(s)分别构造两个五对角阵的线性方程组，通过迭代计算进行求解。在实际应用中一般先在物体周围手动点出控制点作为Snakes模型的起始位置，然后对能量函数迭代求解。

三、Matlab实现

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%                   Snakes：Active Contour Models
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% By gujinjin 2012/12/10-12  Sunny
% 基于KASS等的论文思想
% 参考文献：
% [1] KASS etc.Snakes：Active Contour Models
% [2] CSDN 博客 - Author：乐不思蜀Tone
% [3] Ritwik Kumar(Harvard University),D.Kroon（Twente University)的程序
% [4] 《数学建模与数学实验》
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clc;clf;clear all;  % =========================================================================
%                      获取手动取点坐标
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% 读取显示图像
%I = imread('Coronary_MPR.jpg');
I =  imread('t2.bmp');
% 转化为双精度型
%I = im2double(I);
% 若为彩色，转化为灰度
if(size(I,3)==3), I=rgb2gray(I); end
figure(1),imshow(I);
%---------------------------
%        高斯滤波
%---------------------------
sigma=1.0;
% 创建特定形式的二维高斯滤波器H
H = fspecial('gaussian',ceil(3*sigma), sigma);
% 对图像进行高斯滤波,返回和I等大小矩阵
Igs = filter2(H,I,'same');
%---------------------------
%      获取Snake的点坐标
%---------------------------
figure(2),imshow(Igs);
x=[];y=[];c=1;N=100; %定义取点个数c,上限N
% 获取User手动取点的坐标
% [x,y]=getpts
while c<N  [xi,yi,button]=ginput(1);  % 获取坐标向量  x=[x xi];  y=[y yi];  hold on  % text(xi,yi,'o','FontSize',10,'Color','red');  plot(xi,yi,'ro');  % 若为右击，则停止循环  if(button==3), break; end  c=c+1;
end  % 将第一个点复制到矩阵最后，构成Snake环
xy = [x;y];
c=c+1;
xy(:,c)=xy(:,1);
% 样条曲线差值
t=1:c;
ts = 1:0.1:c;
xys = spline(t,xy,ts);
xs = xys(1,:);
ys = xys(2,:);
% 样条差值效果
hold on
temp=plot(x(1),y(1),'ro',xs,ys,'b.');
legend(temp,'原点','插值点');  % =========================================================================
%                     Snakes算法实现部分
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NIter =1000; % 迭代次数
alpha=0.2; beta=0.2; gamma = 1; kappa = 0.1;
wl = 0; we=0.4; wt=0;
[row col] = size(Igs);  % 图像力-线函数
Eline = Igs;
% 图像力-边函数
[gx,gy]=gradient(Igs);
Eedge = -1*sqrt((gx.*gx+gy.*gy));
% 图像力-终点函数
% 卷积是为了求解偏导数，而离散点的偏导即差分求解
m1 = [-1 1];
m2 = [-1;1];
m3 = [1 -2 1];
m4 = [1;-2;1];
m5 = [1 -1;-1 1];
cx = conv2(Igs,m1,'same');
cy = conv2(Igs,m2,'same');
cxx = conv2(Igs,m3,'same');
cyy = conv2(Igs,m4,'same');
cxy = conv2(Igs,m5,'same');  for i = 1:row  for j= 1:col  Eterm(i,j) = (cyy(i,j)*cx(i,j)*cx(i,j) -2 *cxy(i,j)*cx(i,j)*cy(i,j) + cxx(i,j)*cy(i,j)*cy(i,j))/((1+cx(i,j)*cx(i,j) + cy(i,j)*cy(i,j))^1.5);  end
end  %figure(3),imshow(Eterm);
%figure(4),imshow(abs(Eedge));
% 外部力 Eext = Eimage + Econ
Eext = wl*Eline + we*Eedge + wt*Eterm;
% 计算梯度
[fx,fy]=gradient(Eext);  xs=xs';
ys=ys';
[m n] = size(xs);
[mm nn] = size(fx);  % 计算五对角状矩阵
% 附录: 公式（14） b(i)表示vi系数(i=i-2 到 i+2)
b(1)=beta;
b(2)=-(alpha + 4*beta);
b(3)=(2*alpha + 6 *beta);
b(4)=b(2);
b(5)=b(1);  A=b(1)*circshift(eye(m),2);
A=A+b(2)*circshift(eye(m),1);
A=A+b(3)*circshift(eye(m),0);
A=A+b(4)*circshift(eye(m),-1);
A=A+b(5)*circshift(eye(m),-2);  % 计算矩阵的逆
[L U] = lu(A + gamma.* eye(m));
Ainv = inv(U) * inv(L);   % =========================================================================
%                      画图部分
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%text(10,10,'+','FontName','Time','FontSize',20,'Color','red');
% 迭代计算
figure(3)
for i=1:NIter;  ssx = gamma*xs - kappa*interp2(fx,xs,ys);  ssy = gamma*ys - kappa*interp2(fy,xs,ys);  % 计算snake的新位置  xs = Ainv * ssx;  ys = Ainv * ssy;  % 显示snake的新位置  imshow(I);   hold on;  plot([xs; xs(1)], [ys; ys(1)], 'r-');  hold off;  pause(0.001)
end

四、演示效果

reference

1、http://www.doc88.com/p-6741785598618.html

2、《Matlab图像处理》part1 Snakes：Active Contour Models 主动轮廓模型

3、M. Kass, A. Witkin, and D. Terzopoulos. Snakes Active contour models. Int.