序言

在本人的其它博文中，介绍了主流的三种公钥加密算法：RSA、离散对数加密和椭圆曲线加密。出于可读性上的考虑，文章中尽量减少了代数相关的描述。实际上，他们或多或少都跟有限域扯上了关系，如果能从抽象代数角度去解释，会更简洁。

抽象代数基础

抽象代数，其实就是对我们日常使用的代数运算进行了抽象，将其泛化到更一般的领域。小学的时候我们学习加法和乘法，里面有说它们满足结合律、交换律、分配律。这么多年我们一直把这些性质当成自然而然的东西，但是在抽象代数中，定义某些运算时，他们未必就像在普通加法乘法里那么显然。

集合

这是高中数学就有的内容。集合具有三个性质：

无序性。集合中的元素是无序的。

唯一性。集合中每个元素都是唯一、不重复的。

确定性。给定一个元素和一个集合，这个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，不存在其它情况。

比较常见的集合有：整数集（Z Z ）、有理数集（Q Q ）、实数集（R R ）等。

半群

在一个集合S中定义了某种运算（记作加法“+”，但这个加法指代广泛意义上的运算，并不是指日常使用的加法），那么在这个集合上，如果这种运算满足以下性质，那么他和集合S共同组成一个半群，记作(S, +)：

封闭性。也就是运算的结果始终在集合S内

结合律。也就是满足：(a + b) + c= a + (b + c)

例子：如果集合S是全体实数（记作“R”），而运算是实数加法，那么它们共同形成了一个半群，记作(R, +)

幺半群

如果一个半群(S, +)中存在一个元素e，使得S中所有的元素a都满足：

a+e=e+a=a a+e=e+a=a

那么这个半群被称为幺半群，元素e被称为单位元或者幺元。

例子：(R, +)中，实数0符合这一要求，所以(R, +)是幺半群，0是它的单位元。

群

如果一个幺半群(S, +)中的每一个元素a都有唯一一个元素b与之对应且满足以下性质：

a+b=b+a=e，其中e是单位元 a+b=b+a=e，其中e是单位元

那么这个幺半群就是一个群。群中元素a和元素b互为逆元，记作a = -b或者b = -a。逆元存在，也就定义了群上的减法。a减去b，其实就是a加上b的逆元。也就是

a−b=a+(−b) a−b=a+(−b)

例子：(R, +)中，每一个正数都和一个负数一一对应，他们的和为0。0取负是它自身。所以(R, +)是一个群。

交换群

如果一个群(S, +)符合交换律，即对于集合中任意元素a和b，满足：

a+b=b+a a+b=b+a

那么这个群被称为交换群，又叫阿贝尔群。

例子：两个实数相加谁先谁后对结果没影响，满足交换律，所以(R, +)是一个交换群。

环

在一个交换群(S, +)上，再定义另外一种运算（记作乘法“⋅”，同样地这个乘法也不是指日常使用的乘法），得到(S, +, ⋅)。如果(S, +, ⋅)满足以下性质：

(S, ⋅)是一个幺半群。

两种运算满足分配律，即a(b + c) = ab + ac

那么那么(S, +, ⋅)形成一个环。此时群(S, +)的单位元被称为环(S, +, ⋅)的零元。

例子：实数集R和实数乘法形成一个幺半群(R, ⋅)，单位元是实数1，而且和实数加法满足分配律，所以(R, +, ⋅)是一个环。

除环

如果幺半群(S, ⋅)里除了零元以外的所有元素都有逆元，那么(S, +, ⋅)被称为除环。

为了避免和(S, +)里的逆元混淆，(S, +)里的逆元称为加法逆元，(S, ⋅)里的则是乘法逆元。
(S, +, ⋅)中乘法逆元存在，也就定义了除法，元素a除以元素b实际上就是a乘以b的乘法逆元。也就是

a÷b=ab −1 a÷b=ab−1

例子：(R, ⋅)中，除了实数0（(R, +)的单位元）以外所有数都有倒数，一个数和他的倒数之积为1（单位元），也就是一个实数的倒数就是它的乘法逆元。所以(R, +, ⋅)是一个除环。但是如果把其中的实数集改为整数集，就不满足这个性质了，因为大于1的整数倒数不在整数集中，因此没有乘法逆元。

交换环

如果环(S, +, ⋅)中，(S, ⋅)满足交换律，那么(S, +, ⋅)被称为交换环。

例子：实数乘法满足交换律，所以(R, +, ⋅)是一个交换环。

域

如果一个环(S, +, ⋅)，既是除环又是交换环，那么它是一个域。

例子：(R, +, ⋅)既是除环又是交换环，所以它是一个域，称为实数域。

有限域

实数有无限多个，所以实数域是一个无限域。而如果一个域的元素是有限的，那么他就是一个有限域，又叫伽（ga1）罗瓦域（就是那个为爱死于决斗的数学家）。

有限域中元素的个数被称为有限域的阶(order)。有限域的阶一定是某个素数p的k次幂（k是正整数）。

模p有限域GF(p)

最常见的有限域莫过于模素数p有限域GF(p)。

GF(p)是定义在整数集合{0, 1, … , p-1}上的域。GF(p)上的加法和乘法分别是模加法和模乘法。

加法和乘法

模加法模乘法和普通的整数加法乘法类似，唯一不同的是，当运算的结果超出范围时，要将运算结果对素数p取模。比如GF(7)定义在{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}上，它的加法和乘法是这样的：

1+2=3mod75+6=11mod71∗2=2mod74∗5=20mod7 =3=4=2=6 1+2=3mod7=35+6=11mod7=41∗2=2mod7=24∗5=20mod7=6

减法

a减去b，其实就是a加上b的加法逆元，关键是找到b的加法逆元。

1−2=1+(−2)=1+5=6mod71−2=−1mod7 =6 又或者=6 1−2=1+(−2)=1+5=6mod7=6 又或者1−2=−1mod7=6

除法

到了除法，就没那么直观了。
a除以b，需要找到b的乘法逆元（在这里又被称为数论倒数）。即满足以下式子的整数x：

bx=1mod7 bx=1mod7

也就是解下面的方程：

bx=1+7k,其中k∈Z + bx=1+7k,其中k∈Z+

这个方程的求解需要用到扩展欧几里得算法，在本人的另一篇博文中有详细介绍，这里不再赘述。下面直接给出结果：

3÷4=3∗(4 −1 )=3∗2=6mod7=6 3÷4=3∗(4−1)=3∗2=6mod7=6

有限域GF(2^m)

除了GF(p)外，常见的有限域还有GF(2^m)。它在里德-所罗门编码（二维码使用的编码）以及椭圆曲线加密中都有使用。

GF(2^m)正如他的名称，包含2^m个元素。为什么是2的m次方而不是3的m次方或者5的m次方呢？

因为计算机是二进制的，2^m个元素恰好跟长度为m的二进制数（0∼2 m −1 0∼2m−1 ）一一对应。比如GF(2^8)，刚好跟计算机中8个二进制位，也就是一个字节（0~255）对应。所以它在计算机或者专用硬件上可以有很高的运算效率。

为了方便，我们把GF(2^m)中的元素表示成长度为m的二进制形式。下面以m=3为例

加法和减法

GF(2^m)上的加法和减法都是异或运算。加法单位元是0。
010和110都是GF(2^3)的元素。那么

010+110=010⊕110010−110=010⊕110 =100=100 010+110=010⊕110=100010−110=010⊕110=100

因为长度为m的二进制数异或结果还是长度为m的二进制数，所以不需要考虑结果超出范围的情况。

乘法

乘法其实就是移位加上异或。乘法单位元是1。
举个栗子，111乘以101，基于乘法分配律，可以得到：

111∗101 =111∗100+111∗00+111∗1=11100+0000+111=11100⊕111=11011 111∗101=111∗100+111∗00+111∗1=11100+0000+111=11100⊕111=11011

如果直接相乘得到的结果长度不大于m，这就是最终结果。但是这里得到的结果是11011，长度超过了3，那么就要想办法对它进行处理。怎么处理呢？还是对一个“素数”取模。
需要注意，这里的“素数”并不是普通的素数，而是基于上述乘法，无法由两个数相乘得到的数。这样的“素数”可能有多个，不同的选择会有不同的结果。

对于GF(2^3)，1011就是其中一个“素数”。11011对1011取模，过程如下：

11011mod1011 =11011−1011∗10mod1011=11011⊕10110mod1011=1101mod1011=1101−1011∗1=1101⊕1011=110 11011mod1011=11011−1011∗10mod1011=11011⊕10110mod1011=1101mod1011=1101−1011∗1=1101⊕1011=110

实际上这个计算过程类似于除法的竖式运算。

除法

除法依然是乘以一个倒数，使用的方法同GF(p)一样是扩展欧几里得算法，这里不作介绍。

有限域的加减乘除运算相关推荐

java float 加法_JAVA 实现精确的加减乘除运算
JAVA在加减乘除运算时易发生精度丢失,达不到我们想要的计算结果:为了能够精确表示.计算浮点数,JAVA提供了BigDecimal类,可以以BigDecimal为基础定义一个Arith工具类,代码如下 ...
简单工厂模式－－加减乘除运算
下面基于简单的<加减乘除运算>实例来讲讲实用简单工厂模式:<备注:以后根据认识的加深,可以添加和修改内容> 需求分析:希望程序提供"加减乘除"四种功能. 功 ...
java用流体加减乘除_任意输入两个数,完成加法、减法、乘法、除法运算!(加减乘除运算分别定义四个方法)_学小易找答案...
[简答题]编写程序实现菜单设计 [简答题]一层平面图 [简答题]编写一个程序实现大小写字母转换 [简答题]利用循环语句输出一个五行的等腰三角形,如下图 [简答题]编写一个程序实现交换两个变量的数值. ...
matlab 矩阵加减乘除运算
文章目录 matlab 矩阵加减乘除运算 1 .加.减运算 2. 乘法 3．向量点积 4．向量叉乘 5．混合积 6．矩阵的卷积和多项式乘法 7．反褶积(解卷)和多项式除法运算 8．张量积 9. 除法运 ...
[基础题]2.（*）利用接口做参数，写个计算器，能完成加减乘除运算。
/*2.(*)利用接口做参数,写个计算器,能完成加减乘除运算. (1)定义一个接口Compute含有一个方法int computer(int n, int m). (2)设计四个类分别实现此接口,完成 ...
sql的加减乘除运算_SQL简单查询语、运算符学习和练习
本次主要学习了SQL语言的书写和运算,多为实操,一定要多写多思考,综合运用起来. 基本查询语句(select *全部 as替换 distinct删除重复) 指定查询条件(where 从哪里查询) 注释 ...
关于浮点型加减乘除运算不精确的问题
关于浮点型加减乘除运算不精确的问题先举一个遇到这个错误的项目例子: 之前做一个小模块,由于后端接口还没有完成,需要自己搭建node服务,返回数据,功能需求是实时更新的,这个小模块中本人没有使用web ...
51单片机实现三位十进制数加减乘除运算
51单片机实现三位十进制数加减乘除运算一.题目 51单片机IO接口作业请将附件给出的Proteus图用51单片机完成一个计算器功能. 1.显示采用动态分时8位共阳数码管输出. 2.采用4*4矩阵键 ...
C---编写程序：实现一个随堂测试，能进行加减乘除运算。要求如下:(1)随机产生两个1~10的正整数，在屏幕上输出题目，如：5+3=？(2)学生输入答案，程序检查学生输入答案是否正确，若正确，
编写程序:实现一个随堂测试,能进行加减乘除运算.要求如下: 1)随机产生两个1~10的正整数,在屏幕上输出题目,如:5+3=? 2)学生输入答案,程序检查学生输入答案是否正确,若正确,则输出" ...
python中怎么计算_python中的加减乘除运算
python中的加减乘除运算,是学习python入门的基础,是以后进行数学计算的关键部分.包括运算表达式的写法,运算规则,加减乘除,求余,求商等等. 工具/原料 python 电脑方法/步骤 1 1 ...

有限域的加减乘除运算

序言