文章目录

一、状态变量及状态空间表达式
二、状态空间表达式模拟结构图
三、状态空间表达式的建立
- 1.由系统框图建立
- 2.由系统的机理建立
- 3.由微分方程或传递函数建立
- - 3.1能控标准型
  - 3.2能观标准型
四、状态矢量的线性变换
- 1.状态空间表达式变换为约当标准型
- 2.当A为友矩阵时
- 3.系统的并联型实现（约当标准型实现）
五、从状态空间表达式求传递函数矩阵

一、状态变量及状态空间表达式

1.状态变量：足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量x1⋯xnx_1\cdots x_nx1⋯xn
2.状态矢量：以状态变量为分量构成的矢量
x(t)=(x1⋮xn)x(t)= \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots\\ x_n\\ \end{pmatrix}x(t)=⎝⎜⎛x1⋮xn⎠⎟⎞
3.状态空间：以状态变量为坐标轴构成的n维空间
4.状态方程：描述系统uuu与xxx之间关系的一阶微分方程组
x˙=Ax+Bu\dot x=Ax+Bux˙=Ax+Bu
5.输出方程：描述系统yyy与xxx之间关系的一阶微分方程组
y=Cx+Duy=Cx+Duy=Cx+Du
6.状态空间表达式：x˙=Ax+Bu\dot x=Ax+Bux˙=Ax+Buy=Cx+Duy=Cx+Duy=Cx+Du
单输入单输出系统：
x˙=Ax+bu\dot x=Ax+bux˙=Ax+buy=cxy=cxy=cx
式中xxx为n×1n\times1n×1阵，AAA为n×nn\times nn×n阵，bbb为n×1n\times1n×1阵,ccc为1×n1\times n1×n阵
多输入多输出系统：
x˙=Ax+Bu\dot x=Ax+Bux˙=Ax+Buy=Cx+Duy=Cx+Duy=Cx+Du
式中uuu为r×1r\times 1r×1阵，yyy为m×1m\times 1m×1阵
AAA为n×nn\times nn×n阵，BBB为n×rn\times rn×r阵，ccc为m×nm\times nm×n阵,DDD为m×rm\times rm×r阵

二、状态空间表达式模拟结构图

绘制模拟结构图的步骤：
1、选积分器数目等于状态变量数
2、将每个积分器输出选作一个状态变量
3、据方程画加法器和比例器

三、状态空间表达式的建立

1.由系统框图建立

系统框图->模拟结构图->选定状态变量->建立状态空间表达式

2.由系统的机理建立

3.由微分方程或传递函数建立

对于单变量线性定常系统，可以用一个n阶线性常系数微分方程来描述：
y（n）+an−1y(n−1)+⋯+a1y˙+a0y=bmu(m)+bm−1u(m−1)+⋯+b1u˙+b0uy^{（n）}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1\dot y+a_0y=b_mu^{(m)}+b_{m-1}u^{(m-1)}+\cdots+b_1\dot u+b_0uy（n）+an−1y(n−1)+⋯+a1y˙+a0y=bmu(m)+bm−1u(m−1)+⋯+b1u˙+b0u
相应的传递函数为：
W(s)=Y(s)U(s)=bmsm+bm−1sm−1+⋯+b1s+b0sn+an−1sn−1+⋯+a1s+a0W(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0}W(s)=U(s)Y(s)=sn+an−1sn−1+⋯+a1s+a0bmsm+bm−1sm−1+⋯+b1s+b0
(1)当n>m时，传递函数为真分式，状态空间表达式中d=0
(2)当n=m时，长除法，化为整数与真分式之和
W(s)=bm+N(s)D(s)W(s)=b_m+\frac{N(s)}{D(s)}W(s)=bm+D(s)N(s)
此时d=bmd=b_md=bm

3.1能控标准型

1、传递函数中没有零点时
y（n）+an−1y(n−1)+⋯+a1y˙+a0y=b0uy^{（n）}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1\dot y+a_0y=b_0uy（n）+an−1y(n−1)+⋯+a1y˙+a0y=b0u
可以直接列写状态空间表达式：

称为能控标准型
2、传递函数中有零点时
y（n）+an−1y(n−1)+⋯+a1y˙+a0y=bmu(m)+bm−1u(m−1)+⋯+b1u˙+b0uy^{（n）}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1\dot y+a_0y=b_mu^{(m)}+b_{m-1}u^{(m-1)}+\cdots+b_1\dot u+b_0uy（n）+an−1y(n−1)+⋯+a1y˙+a0y=bmu(m)+bm−1u(m−1)+⋯+b1u˙+b0u
状态方程与传递函数无零点的状态方程相同
输出方程不同
当n=m时，输出方程为

当m<n时，输出方程为

3.2能观标准型

式中

四、状态矢量的线性变换

令x=TZx=TZx=TZ
新的状态空间表达式

1.状态空间表达式变换为约当标准型

1、无重根时

2、有重根时

重根对应的特征向量的求法

2.当A为友矩阵时

求变换阵T更方便
1、无重根时
变换阵T为范德蒙德矩阵
2、有重根时
变换阵T为：

3.系统的并联型实现（约当标准型实现）

1、具有互异根
展开成部分分式：

其状态空间表达式如下：

2、具有重根时
假设有三个重根，一个单根
展开成部分分式：

其状态空间表达式如下

五、从状态空间表达式求传递函数矩阵

x˙=Ax+Bu\dot x=Ax+Bux˙=Ax+Bu
y=Cx+Duy=Cx+Duy=Cx+Du
拉普拉斯变换
sX(s)=AX(s)+bU(s)sX(s)=AX(s)+bU(s)sX(s)=AX(s)+bU(s)
Y=CX(s)+DU(s)Y=CX(s)+DU(s)Y=CX(s)+DU(s)
假定初始条件为0则有
X(s)=(sI−A)−1bU(s)X(s)=(sI-A)^{-1}bU(s)X(s)=(sI−A)−1bU(s)
Y(s)=c(sI−A)−1bU(s)+dU(s)Y(s)=c(sI-A)^{-1}bU(s)+dU(s)Y(s)=c(sI−A)−1bU(s)+dU(s)
即可求得传递函数矩阵
线性变换不改变系统的传递函数矩阵，同一系统，传递函数阵是唯一的
具有输出反馈的系统如图

其传递函数应等于W1(s)[1+W2(s)W1(s)]−1W_1(s)[1+W_2(s)W_1(s)]^{-1}W1(s)[1+W2(s)W1(s)]−1
其中W1(s)W2(s)W_1(s)W_2(s)W1(s)W2(s)分别是前向通道和反馈通道的传递函数

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