主要作为一个模板和总结

多项式ln

求G(x)=ln(F(x))G(x)=ln(F(x))G(x)=ln(F(x))
两边求导
G′(x)=F′(x)F(x)G'(x)=\frac{F'(x)}{F(x)}G′(x)=F(x)F′(x)，注意这是复合函数求导。
多项式求逆，求导，乘法即可求出G′(x)G'(x)G′(x)
再积分回去就是G(x)G(x)G(x)
一般会钦定常数项为1，否则ln的时候先求导再积分（这里是不定积分）你会发现常数项丢失了，得到的结果并不是原来的多项式，而是在每一项的基础上除以了常数项。

多项式exp

牛顿迭代

用于求函数的零点，在某些情况下可以应用，但是在一些奇怪的情况下永远逼近不了解。
做法：随便选择一个起点x0x_0x0，作f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0上的切线，交xxx轴与x1x_1x1，x1x_1x1相比x0x_0x0比零点更近，不断迭代即可求得一个逼近零点的点。
作切线根据导数的知识可以知道：
f′(x0)(x0−x1)=f(x0)f'(x_0)(x_0-x_1)=f(x_0)f′(x0)(x0−x1)=f(x0)
x1=x0−f(x0)f′(x0)x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}x1=x0−f′(x0)f(x0)

从实数到多项式的伟大扩展

相当于求G(F(x))=0(modxn)G(F(x))=0\ (mod\ x^n)G(F(x))=0 (mod xn)
考虑倍增（实际上就是一个精度不断提升的过程）。
G(F0(x))=0(modxn/2)G(F_0(x))=0\ (mod\ x^{n/2})G(F0(x))=0 (mod xn/2)
根据泰勒展开，在F0(x)F_0(x)F0(x)求得：
G(F(x))=G(F0(x))+G′(F0(x))1!(F(x)−F0(x))+G′′(F0(x))1!(F(x)−F0(x))2+...G(F(x))=G(F_0(x))+\frac{G'(F_0(x))}{1!}(F(x)-F_0(x))+\frac{G''(F_0(x))}{1!}(F(x)-F_0(x))^2+...G(F(x))=G(F0(x))+1!G′(F0(x))(F(x)−F0(x))+1!G′′(F0(x))(F(x)−F0(x))2+...
因为F(x)F(x)F(x)和F(x0)F(x_0)F(x0)是在modxn/2mod\ x^{n/2}mod xn/2下的，所以平方之后在modxnmod\ x^nmod xn下就为0了，所以只有前两项有意义。
实际这就是泰勒展开的式子，每一次的精度翻倍。
G(F(x))=G(F0(x))+G′(F0(x))(F(x)−F0(x))G(F(x))=G(F_0(x))+G'(F_0(x))(F(x)-F_0(x))G(F(x))=G(F0(x))+G′(F0(x))(F(x)−F0(x))

利用牛顿迭代

要求B(x)=eA(x)B(x)=e^{A(x)}B(x)=eA(x)
lnB(x)=A(x)ln\ B(x)=A(x)ln B(x)=A(x)
F(B(x))=lnB(x)−A(x)=0F(B(x))=ln\ B(x)-A(x)=0F(B(x))=ln B(x)−A(x)=0
求零点B(x)B(x)B(x)，A(x)A(x)A(x)视作常数。
所以F′(B(x))=1B(x)F'(B(x))=\frac{1}{B(x)}F′(B(x))=B(x)1
假设已经求出了B0(x)B_0(x)B0(x)为xn/2x^{n/2}xn/2下的零点，则：
B(x)=B0(x)−F(B0(x))F′(B0(x))B(x)=B_0(x)-\frac{F(B_0(x))}{F'(B_0(x))}B(x)=B0(x)−F′(B0(x))F(B0(x))
B(x)=B0(x)(1−lnB0(x)+A(x))(modxn)B(x)=B_0(x)(1-ln\ B_0(x)+A(x))(mod\ x^n)B(x)=B0(x)(1−ln B0(x)+A(x))(mod xn)
倍增，利用多项式ln和多项式乘法即可。

关于值域的选择

求limlimlim下ln的时候是2个limlimlim下的多项式的乘法，记得开两倍长度去乘。
求exp时也要注意是当前长度的两倍。实际上迭代次数越多就越准确，没有规定的次数（建议多倍增一次），在一定次数之后再进行迭代在有限位置的系数就不会改变了，乘上的ln的值域也没有限定的要求，但是总的长度一定要开到有值的位置最大长度的和。
无关的位置要清空。

多项式快速幂

ln再乘指数再exp回去。注意ln之后常数项的贡献被除掉了，这个部分要单独再快速幂。

JZOJ6712

多项式ln，exp，求逆，快速幂模板

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxn 524288
#define ll long long
#define mo 998244353
using namespace std;ll n,m,T,S,a[maxn],b[maxn],c[maxn];
ll w[maxn+5],inv[maxn+5];
int bt[maxn];ll ksm(ll x,ll y){ll s=1;for(;y;y/=2,x=x*x%mo) if (y&1)s=s*x%mo;return s;
}void clear(ll *a,int n){memset(a,0,sizeof(ll)*n);}void prepare(){inv[0]=inv[1]=1;for(int i=2;i<=maxn;i++) inv[i]=(mo-mo/i)*inv[mo%i]%mo;w[0]=1,w[1]=ksm(3,(mo-1)/maxn);for(int i=2;i<=maxn;i++) w[i]=w[i-1]*w[1]%mo;
}void getbt(int n){for(int i=1;i<n;i++)bt[i]=(bt[i>>1]>>1)|((i&1)?n>>1:0);}
int getlim(int n){int lim=1;while (lim<=n) lim<<=1;return lim;}void dft(ll *a,int sig,int lim){for(int i=0;i<lim;i++) if (i<bt[i]) swap(a[i],a[bt[i]]);for(int mid=1;mid<lim;mid<<=1){int d=sig*maxn/(mid<<1),s=(sig<0)?maxn:0;for(int j=0;j<lim;j+=mid<<1){for(int k=0,p=s;k<mid;k++,p+=d){ll x=a[j+k],y=a[j+k+mid]*w[p];a[j+k]=(x+y)%mo,a[j+k+mid]=(x-y)%mo;}}}
}void getinv(ll *a,ll *b,int lim){static ll A[maxn],B[maxn],C[maxn];clear(b,lim);b[0]=ksm(a[0],mo-2);for(int len=2;len<=lim;len<<=1){int L=len<<1;getbt(L);clear(A,L),clear(B,L);for(int i=0;i<len;i++) A[i]=a[i];for(int i=0;i<len;i++) B[i]=b[i];dft(A,1,L),dft(B,1,L);for(int i=0;i<L;i++) C[i]=A[i]*B[i]%mo*B[i]%mo;dft(C,-1,L);for(int i=0;i<L;i++) C[i]=C[i]*inv[L]%mo;for(int i=0;i<len;i++) b[i]=(b[i]*2-C[i])%mo;}
}void multi(ll *a,ll *b,ll *c,int lim){getbt(lim);dft(a,1,lim),dft(b,1,lim);for(int i=0;i<lim;i++) c[i]=a[i]*b[i]%mo;dft(c,-1,lim);for(int i=0;i<lim;i++) c[i]=c[i]*inv[lim]%mo;
}void getln(ll *a,ll *b,int lim){static ll A[maxn],B[maxn];clear(A,lim<<1),clear(B,lim<<1);for(int i=0;i<lim-1;i++) A[i]=a[i+1]*(i+1)%mo;getinv(a,B,lim);for(int i=lim;i<lim<<1;i++) A[i]=B[i]=0;multi(A,B,b,lim<<1);for(int i=lim-1;i>=0;i--) b[i+1]=b[i]*inv[i+1]%mo;b[0]=0;for(int i=lim;i<lim<<1;i++) b[i]=0;
}void getexp(ll *a,ll *b,int lim){static ll G[maxn],F[maxn],H[maxn];clear(G,lim<<1),clear(F,lim<<1),clear(H,lim<<1);G[0]=1;for(int len=2;len<=lim<<1;len<<=1){getln(G,F,len);for(int i=0;i<len;i++) F[i]=((i==0)-F[i]+a[i])%mo;multi(G,F,H,len<<1);for(int i=0;i<len;i++) G[i]=H[i];for(int i=len;i<len<<1;i++) G[i]=0;}for(int i=0;i<lim;i++) b[i]=G[i];
}int main(){freopen("ceshi.in","r",stdin);
//  freopen("sum.in","r",stdin);
//  freopen("sum.out","w",stdout);prepare();scanf("%lld%lld%lld%lld",&S,&T,&n,&m);ll C=1;for(int i=0;i<=min(m-n,S-n*T);i++)   a[i]=C,C=C*inv[i+1]%mo*((S-n*T-i)%mo)%mo;C=T;for(int i=0;i<=min(m-n,T);i++) b[i]=C,C=C*inv[i+2]%mo*((T-i-1)%mo)%mo;ll k=b[0],invk=ksm(k,mo-2);for(int i=0;i<=m-n;i++) b[i]=b[i]*invk%mo;int lim=getlim(m-n);getln(b,c,lim);for(int i=0;i<lim;i++) b[i]=c[i]*(n%mo)%mo;getexp(b,c,lim);multi(c,a,b,lim<<1);printf("%lld",(b[m-n]*ksm(k,n)%mo+mo)%mo);
}

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