【Gym-101889 D】Daunting device【分块】

题意：

长度为 nnn 的序列，每个点都有一个颜色，一共有 CCC 个颜色，支持两种操作，第一种给出 lrxl\ r\ xl r x，将区间 [l,r][l,r][l,r] 全部染成 xxx，第二种给出一个 xxx，询问 xxx 颜色一共在序列中出现了多少次。

所有操作结束后，还要查询每种颜色出现的次数，给出最多出现的次数。(1≤n,C,m≤105)(1\leq n,C,m\leq 10^5)(1≤n,C,m≤105)

思路：

非常明显的区间推平操作，应该使用珂朵莉树进行解决，即用 setsetset 维护每一块相同区域。

老司机树是可以的，但是并没有采用，还是使用了分块的方法，虽然 TTT 的飞起…一开始的想法是给每个块记一个 mapmapmap，标记每个块中各个数字出现的次数，如果整个块被赋值了，就 map.clear()map.clear()map.clear()。但是 TTT 的不行，第 636363 个点怎么也过不去…

后来采用了完全的暴力分块，即每个块打个 lazylazylazy，如果 lazylazylazy 不为 000，则整个块中所有点大小均为 lazylazylazy。如果 lazylazylazy 为 000，则暴力修改、查询。那么如何分析这个做法的时间复杂度呢？

一共两种操作，修改操作每次最多涉及 n\sqrt nn 个块，如果块被完全覆盖，O(1)O(1)O(1) 打上标记，如果块只被部分覆盖，下放标记 O(n)O(\sqrt n)O(n)，修改点值 O(n)O(\sqrt n)O(n)，由于每次最多只有 222 个块被部分覆盖，最多 n\sqrt nn 个块被完全覆盖，因此修改操作总时间复杂度为 O(n)O(\sqrt n)O(n)。

而对于查询操作，如果该块被打上了标记，则查询复杂度为 O(1)O(1)O(1)，如果没有打上标记，则直接暴力查询，时间复杂度为 O(n)O(\sqrt n)O(n)。此题是修改与查询次数一致，而修改操作每次最多使得 222 个块标记消失。因此可以发现，我们可以故意设置数据使得此种做法 TLETLETLE，即利用修改操作使得所有块的 lazylazylazy 标记消失，然后每次查询颜色时就会遍历所有块，可以将时间复杂度卡成 O(n2)O(n^2)O(n2)。（不过此题数据较水，此种方法也可以过，而且很快，390ms390\ ms390 ms 即可通过…）

因此正确的做法是当块没有 lazylazylazy 标记时，为了避免直接暴力询问，我们对于每个块记录一个 unordered_mapunordered\_mapunordered_map，查询复杂度为 O(1)O(1)O(1)。修改复杂度会变成 O(n∗log(n))O(\sqrt n*log(n))O(n∗log(n))，查询复杂度为 O(n)O(\sqrt n)O(n)，但是避免了被卡的可能。（790ms790\ ms790 ms 可以通过）

总结：

对于一些不太常见的数据结构问题，一定要尝试考虑分块，因为分块方法用途很多，而且算法核心是暴力。

而对于分块算法，一定要多多尝试，你可能觉得这样分块会被你故意构造的一组数据卡成 O(n2)O(n^2)O(n2)，但是出题人未必就考虑到了你的这种做法，因此一定要多尝试，不要只去尝试那些 O(n∗logn∗n)O(n*logn*\sqrt n)O(n∗logn∗n) 的算法。当然如果能直接想到 O(n)O(\sqrt n)O(n) 的算法则是最好的！

代码1:（390 ms）

#include <bits/stdc++.h>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a);
#define rep(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define per(i,a,b) for(int i = a; i >= b; i--)
#define __ ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
typedef long long ll;
typedef double db;
const int N = 1e5+10;
const db EPS = 1e-9;
using namespace std;void dbg() {cout << "\n";}
template<typename T, typename... A> void dbg(T a, A... x) {cout << a << ' '; dbg(x...);}
#define logs(x...) {cout << #x << " -> "; dbg(x);}int n,m,a[N],L[N],R[N],pos[N],cnt,sz,lazy[N],num[N];
unordered_map<int,int> mp[1010];void change(int l,int r,int x){rep(i,pos[l],pos[r]){if(L[i] >= l && R[i] <= r){// mp[i].clear();// mp[i][x] = R[i]-L[i]+1;lazy[i] = x;}else{if(lazy[i]){rep(j,L[i],R[i]) a[j] = lazy[i];lazy[i] = 0;}rep(j,max(l,L[i]),min(R[i],r)){// mp[i][a[j]]--;// mp[i][x]++;a[j] = x;}}}
}int ask(int x){int ans = 0;rep(i,1,cnt){if(lazy[i]){if(lazy[i] == x) ans += R[i]-L[i]+1;}else{rep(j,L[i],R[i])if(a[j] == x) ans++;}}return ans;
}int main()
{int h; scanf("%d%d%d",&n,&h,&m);sz = sqrt(n);cnt = n/sz;if(n%sz != 0) cnt++;rep(i,1,cnt){L[i] = sz*(i-1)+1;R[i] = min(sz*i,n);mp[i][1] = R[i]-L[i]+1;}rep(i,1,n) pos[i] = ((i-1)/sz)+1;rep(i,1,n) a[i] = 1;while(m--){ll p,x,a,b;scanf("%lld%lld%lld%lld",&p,&x,&a,&b);ll s = ask(p);ll m1 = (a+s*s)%n;ll m2 = (a+(s+b)*(s+b))%n;change(min(m1,m2)+1,max(m1,m2)+1,x);}rep(i,1,cnt)if(lazy[i]){rep(j,L[i],R[i]) a[j] = lazy[i];lazy[i] = 0;}rep(i,1,n)num[a[i]]++;int maxx=0;rep(i,1,h)maxx = max(maxx,num[i]);printf("%d\n",maxx);return 0;
}

代码2：(790 ms)

#include <bits/stdc++.h>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a);
#define rep(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define per(i,a,b) for(int i = a; i >= b; i--)
#define __ ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
typedef long long ll;
typedef double db;
const int N = 1e5+10;
const db EPS = 1e-9;
using namespace std;void dbg() {cout << "\n";}
template<typename T, typename... A> void dbg(T a, A... x) {cout << a << ' '; dbg(x...);}
#define logs(x...) {cout << #x << " -> "; dbg(x);}int n,m,a[N],L[N],R[N],pos[N],cnt,sz,lazy[N],num[N];
unordered_map<int,int> mp[510];void change(int l,int r,int x){rep(i,pos[l],pos[r]){if(L[i] >= l && R[i] <= r) lazy[i] = x;else{if(lazy[i]){std::unordered_map<int,int> tmp;mp[i].swap(tmp); //设置一个空的交换，类似于clearmp[i].reserve(1000); //预留map中元素个数mp[i].rehash(1000); //给元素个数预留足够的bucket用于hashmp[i][lazy[i]] = R[i]-L[i]+1;rep(j,L[i],R[i]) a[j] = lazy[i];lazy[i] = 0;}rep(j,max(l,L[i]),min(R[i],r)){mp[i][a[j]]--;mp[i][x]++;a[j] = x;}}}
}int ask(int x){int ans = 0;rep(i,1,cnt){if(lazy[i]){if(lazy[i] == x) ans += R[i]-L[i]+1;}else ans += mp[i][x];}return ans;
}int main()
{int h; scanf("%d%d%d",&n,&h,&m);sz = sqrt(n);cnt = n/sz;if(n%sz != 0) cnt++;rep(i,1,cnt){L[i] = sz*(i-1)+1;R[i] = min(sz*i,n);mp[i][1] = R[i]-L[i]+1;}rep(i,1,n) pos[i] = ((i-1)/sz)+1;rep(i,1,n) a[i] = 1;while(m--){ll p,x,a,b;scanf("%lld%lld%lld%lld",&p,&x,&a,&b);ll s = ask(p);ll m1 = (a+s*s)%n;ll m2 = (a+(s+b)*(s+b))%n;change(min(m1,m2)+1,max(m1,m2)+1,x);}rep(i,1,cnt)if(lazy[i]){rep(j,L[i],R[i]) a[j] = lazy[i];lazy[i] = 0;}rep(i,1,n)num[a[i]]++;int maxx=0;rep(i,1,h)maxx = max(maxx,num[i]);printf("%d\n",maxx);return 0;
}