理解高斯混合模型中期望最大化的M-Step

在本篇文章中将解释高斯混合模型（GMM）的关键部分背后的数学原理，即期望最大化（EM），以及如何将这些概念转换为Python。这个故事的重点是EM或M-Step。

注意：这不是有关端到端GMM算法的全面说明。要进行更深入的研究，请参阅我们以前翻译的文章。

期望最大化

GMM中有一系列步骤，通常称为“期望最大化”，简称“ EM”。要解释如何理解EM数学，请首先考虑您可能要处理的模型。

样本由图形上的点表示。这些点形成一些不同的斑点。每个斑点都有一个中心，每个点都与每个斑点的中心相距一定距离。给定GMM模型数据，目标通常是根据最接近的中心按其样本点标记其他样本。有些点距离一个或多个中心几乎相等，因此，我们希望基于某种概率来标记点。

EM用到的符号

要学习如何学习机器学习算法，您一生中需要一些希腊语。因为算法中符号基本上都是以希腊文表示的。尽管可能会想掩盖基础知识，但是对单个希腊字母的简单掌握可以帮助您理解算法中的重要概念。

算法可能会令人生畏且令人困惑。例如，乍看之下，高度集中的希腊符号有时足以使人窒息。但是不要浪费时间，我们在这里只要考虑现在要使用的符号即可

除此以外，我们也有一些英文字母在EM中代表GMM的意思。通常，英文字母围绕着希腊字母，就像小领航鱼围着大鲨鱼游动。就像小鱼一样，英文字母有一个重要的作用，它为如何解释算法提供了指导。

M-Step的数学解释

现在我们已经隔离了方程的每个组成部分，让我们通过检查M-Step，将它们组合成一些常用的数学短语，这些短语对于用EM语言进行对话很重要。

簇，高斯，字母J或K，有时还包括C：通常都是同一件事-如果我们有3个簇，那么您可能会听到“每个高斯”，“每个j”，“每个高斯j”或 “对于每个K组件”-这些都是谈论相同3个簇的不同方法。在数据方面，我们可以绘制（x，y）样本/点的数组，并查看它们如何形成簇。

# a 2D array of samples [features and targets]
# the last column, targets [0,1,2], represent three clusters
# the first two columns are the points that make up our features
# each feature is just a set of points (x,y) in 2D space
# each row is a sample and cluster label[[-7.72642091 -8.39495682  2. ][ 5.45339605  0.74230537  1. ][-2.97867201  9.55684617  0. ][ 6.04267315  0.57131862  1. ] ...]

软分类（Soft Assignments），概率，响应度（Responsibility）：聚类的一个主要思想是我们希望为每个样本找到一个数字，以告诉我们样本属于哪个聚类。在GMM中，对于我们评估的每个样本，我们可能会返回代表“每个高斯j的响应度”，每个“软分类”或每个“概率”的值。

这些阶段通常都是关于同一件事的，但响应度与概率之间存在关键区别。

# an array of assignment data about the 2D array of samples
# each column represents a cluster
# each row represents data about each sample
# in each row, we have the probability that a sample belongs to one of three clusters - it adds up to 1 (as it should)
# but the sum of each column is a big number number (not 1)print(assignments)
# sample output: an array of assignment data
[[1.00000000e+000 2.82033618e-118 1.13001412e-070][9.21706438e-074 1.00000000e+000 3.98146031e-029][4.40884339e-099 5.66602768e-053 1.00000000e+000]...]print(np.sum(assignments[0])
# sample output: the sum across each row is 1
1print(np.sum(assignments[:, 0])
# sample output: the sum in each col is a big number that varies
# Little Gamma: the really small numbers in each column
# Big Gamma: the sum of each column, or 33.0 in this sample33.0

大写伽玛，小写伽玛，J，N，x和i：EM中的核心任务是为每个群集优化三组参数，或者“对于每个j，优化w（