2022.08.21 吉司机线段树略讲

Interpretation \color{green}{\texttt{Interpretation}} Interpretation

吉司机线段树（A.K.A. 势能线段树），个人觉得，就是对普通线段树的一种优化技巧。这种优化技巧有点像搜索算法里面的剪枝。

在普通线段树中，为了避免一次区间操作浪费太多时间，我们利用了一种叫作懒标记（Lazy Tag）的技巧。懒标记的核心是利用操作的可合并性，当进行操作时，先在根节点上进行标记，需要访问子节点时再把标记下放。

但是，对于一些没有可合并性的操作（比如开平方等），懒标记就不适用了。

但是，既然题目出出来了，就应该有方法解，这类型的题目的操作大多有一个共同点：操作次数比较有限。

比如开平方并向下取整操作，哪怕是一个很大的数，通过有限次操作（ 64 64 64 位正整数好像最多只需要 25 25 25 次吧，不记得了）就可以使它变成 1 1 1，然后操作就失效了（再操作也还是 1 1 1）。

我们可以想象有这些数本身就有一定的某种“势能”，而每次操作都会使得这个“势能”降低，知道达到最低（即使操作失效）。

我们可以记录下这个“势能”，然后进行区间修改时，先判断这个区间的最高“势能”是否已经达到了最低，如果是，那么这个操作对于这个区间而言就失效了，可以退出操作。

如果“势能”下降的速度足够开，就可以使时间复杂度降低到可以承受的范围。

比如对于那个开平方并向下取整的操作来说，我们就记录下每个区间的最大值，如果某个区间的最大值已经是 1 1 1 了，那么进行操作时就可以忽视这个区间。

Example - Hdu 7059 \color{green}{\texttt{Example - Hdu 7059}} Example - Hdu 7059

[Problem] \color{blue}{\texttt{[Problem]}} [Problem]

给定长度为 n n n 的数列 a 1.. n a_{1 .. n} a1..n，三种操作：

求区间和
将区间内的所有数减去它的 lowbit
将区间内的所有数加上它的 highbit

[Analysis] \color{blue}{\texttt{[Analysis]}} [Analysis]

不是很显然的，我们知道，操作 2 2 2 会使每个数二进制下 1 1 1 的个数减少 1 1 1，而操作 3 3 3 不会影响每个数二进制下 1 1 1 的个数。

于是可以使用吉司机线段树，“势能”就是每个数二进制下 1 1 1 的个数。

代码很简单。

[code] \color{blue}{\texttt{[code]}} [code]

inline int lowbit(int x){return (x&(-x));
}
inline int highbit(int x){for(int i=30;i>=0;i--)if ((x>>i)&1) return (1<<i);
}
inline int CountBit(int x){int ret=0;for(int i=30;i>=0;i--)if ((x>>i)&1) ret++;return ret;
}const int mod=998244353;
const int N=1e5+100,M=N<<1;int n,m,a[N],Pow[N];int rt,ncnt,ls[M],rs[M];
int hb[M],lb[M],cnt[M],tag[M];inline void init(int o){ls[o]=rs[o]=hb[o]=lb[o]=cnt[o]=tag[o]=0;
}inline void pushup(int o){hb[o]=(hb[ls[o]]+hb[rs[o]])%mod;lb[o]=(lb[ls[o]]+lb[rs[o]])%mod;cnt[o]=max(cnt[ls[o]],cnt[rs[o]]);
}
inline void pushdown(int o){tag[ls[o]]+=tag[o];tag[rs[o]]+=tag[o];hb[ls[o]]=1ll*hb[ls[o]]*Pow[tag[o]]%mod;hb[rs[o]]=1ll*hb[rs[o]]*Pow[tag[o]]%mod;tag[o]=0;return;
}
void build(int &o,int l,int r){init(o=++ncnt);if (l==r){hb[o]=highbit(a[l]);lb[o]=a[l]-hb[o];cnt[o]=CountBit(a[l]);return;}int mid=(l+r)>>1;build(ls[o],l,mid);build(rs[o],mid+1,r);pushup(o);return;
}
void modify(int o,int l,int r,int p,int q){if (cnt[o]==0) return;if (l==r){if (cnt[o]>1){lb[o]-=lowbit(lb[o]);cnt[o]--;}else hb[o]=cnt[o]=0;return;}if (tag[o]) pushdown(o);int mid=(l+r)>>1;if (p<=mid) modify(ls[o],l,mid,p,q);if (mid<q) modify(rs[o],mid+1,r,p,q);pushup(o);return;
}
void update(int o,int l,int r,int p,int q){if (cnt[o]==0) return;if (p<=l&&r<=q){hb[o]=2ll*hb[o]%mod;tag[o]++;return;}if (tag[o]) pushdown(o);int mid=(l+r)>>1;if (p<=mid) update(ls[o],l,mid,p,q);if (mid<q) update(rs[o],mid+1,r,p,q);pushup(o);return;
}
int query(int o,int l,int r,int p,int q){if (cnt[o]==0) return 0;if (p<=l&&r<=q) return (hb[o]+lb[o])%mod;if (tag[o]) pushdown(o);int mid=(l+r)>>1,ans=0;if (p<=mid) ans=(ans+query(ls[o],l,mid,p,q))%mod;if (mid<q) ans=(ans+query(rs[o],mid+1,r,p,q))%mod;return ans;
}int main(){Pow[0]=1;for(int i=1;i<=1e5;i++)Pow[i]=2ll*Pow[i-1]%mod;for(int T=1,Q=read();T<=Q;T++){n=read();for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();ncnt=0;rt=0;build(rt,1,n);m=read();for(int i=1;i<=m;i++){int opt=read(),l=read(),r=read();if (opt==1) printf("%d\n",query(rt,1,n,l,r));else if (opt==2) modify(rt,1,n,l,r);else update(rt,1,n,l,r);}}return 0;
}

Reference \color{green}{\texttt{Reference}} Reference

https://blog.csdn.net/jibinquan/article/details/120597782