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写在前面

最近开始更新图论笔记系列, 没办法做到面面俱到了, 就把自己觉得重要的内容放上来, 有任何问题欢迎大家指正.

主要概念

图(graph): 关系的数学表达, 由两个集合: 非空结点集VVV和有限的边集EEE组成.
图的阶(order): 集合V(G)V(G)V(G)的基数(势)nnn.
图的规模(size): 集合E(G)E(G)E(G)的基数mmm.
邻接(adjacent): 指两个节点之间有边连接.
关联(incident): 边与左右两个节点关联.
结点的度(degree): 与结点相邻接的结点数.

孤立点: 度为000的结点.
最小度: 图中所有结点的最小度数, 记为δ(G)\delta(G)δ(G).
最大度: 图中所有结点的最大度数, 记为Δ(G)\Delta(G)Δ(G).
正则图(regular graph): 若图中所有结点有相同的度数, 则δ(G)=Δ(G)\delta(G)=\Delta(G)δ(G)=Δ(G).
r−r-r−正则图: 图中所有结点度都为rrr.

u−vu-vu−v通道(途径, walk): 指从结点uuu出发, 经过一个交互的结点和边的序列, 最后回到结点vvv的路径, 其中连续的结点和边是相关联的.
通道的长度: 经过边的数量, 结点和边可以重复.
迹(trail): 没有重复边的通道, 结点可以重复.
路(路径, path): 结点都不相同的迹.
回路(圈, cycle): 即封闭的路径(闭路, closed path), 由于结点不同则边一定不同, 所以回路也可以称为闭迹(closed trail).
u−vu-vu−v路: 将uuu和vvv连接起来的路.

连通图(connected graph): 图中任意两个结点之间都存在路.
测地线路(测地线, 最短路): 长度最短的u−vu-vu−v路.
子图: HHH结点集与边集都为GGG的结点集和边集的子集, 且对HHH中任意一条边, 其两个节点都在结点集V(H)V(H)V(H)中. GGG称为HHH的超图.
连通分量(connected component): 极大连通子图.
生成子图(spanning subgraph): V(H)=V(G)V(H)=V(G)V(H)=V(G).
导出子图(induced subgraph): 子图边集中包含了GGG中连接子图点集的所有边.

完全图(complete graph): 所有结点对都邻接. 具有nnn个结点的完全图记为KnK_nKn.
平凡图(trivial graph): K1K_1K1.
圈(circle): 含有nnn个结点的圈记为CnC_nCn.
路(path): 含有nnn个结点的路记为PnP_nPn, 并且满足Pi=K1,P2=K2P_i=K_1, P_2=K_2Pi=K1,P2=K2.
完全二分图(complete bipartite graph): 记为Km,nK_{m,n}Km,n, 是指图的结点集可以分成两个非空集合A,BA,BA,B, 分别含有m,nm,nm,n个结点, AAA中每个结点均要与BBB中每个结点相关联,且都只与BBB中结点相关联.
星: 只有一个结点度为nnn, 其余nnn个结点度为111的完全二分图, 记为K1,nK_{1,n}K1,n.

图同构

图同构: 图GGG中结点uvuvuv邻接当前节点它们在图HHH中相应的结点也邻接, 记为G≅HG\cong HG≅H. 图同构则节点的度一定相同.
度序列: 含有nnn个结点图GGG的度序列指按照结点度数排列的n−n-n−元非递增序列. 有相同度序列的两图不一定同构.
可绘图序列: 可以表示某个图的非负整数的非递增序列.
可绘图序列的必要条件: 度数之和为偶数.

可绘图序列的判定算法

序列SSS中删除第1个数kkk.
如果SSS的第一个数后的kkk个数都大等1, 则将这kkk个数分别都减去1得到新序列S′S'S′; 否则停止, 得出原序列不绘图. 若S′S'S′全是000, 停止, 得到原序列可绘图.
将2得到的序列S′S'S′重新排列, 得到非增序列S∗S^*S∗.
令S=S∗S=S^*S=S∗,转步骤1.

例子:判断序列[3,3,2,1,1,1][3,3,2,1,1,1][3,3,2,1,1,1]是否可绘图.

直接根据上述算法进行判断, 下面给出Python以及C++代码:

S1 = [3, 2, 2, 1, 1, 1]
S2 = [5, 4, 4, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1]
S3 = [7, 7, 4, 3, 3, 3, 2, 1]
S4 = [6, 5, 4, 3, 3, 3, 2, 0]def isGraphic(S):if len(S) == 0 or sum(S) % 2 == 1:return False# 只要不是全0序列, 就进入循环while S.count(0) != len(S):k = S.pop(0)if k <= len(S):for i in range(k):if S[i] >= 1:S[i] -= 1else:return FalseS.sort(reverse=True)else:return Falsereturn Trueprint(isGraphic(S1))
print(isGraphic(S2))
print(isGraphic(S3))
print(isGraphic(S4))
"""
True
True
False
True
"""

对于python代码, 用到了一些列表操作的内置函数, 进一步优化可以得到下面的代码:

def isGraphic(S):if len(S) == 0 or sum(S) % 2 == 1:return False# 只要不是全0序列, 就进入循环while S[0] != 0:k = S.pop(0)if k <= len(S):for i in range(k):if S[i] >= 1:S[i] -= 1else:return FalseS.sort(reverse=True)return True

// C++代码实现
#include <iostream>
#include <vector>
#include <numeric>
#include <algorithm>using namespace std;bool isGraphic(vector<int> &S) {if (S.size() == 0 || accumulate(S.begin(), S.end(), 0) % 2 == 1){return false;}while(S[0] != 0) {int k = S[0];S.erase(S.begin());if (k <= S.size())for (int i=0;i<k;i++) {if (S[i] >= 1)S[i]--;elsereturn false; }sort(S.rbegin(), S.rend());}return true;
}int main(int argc, char const *argv[])
{vector<int> S1 = {3, 2, 2, 1, 1, 1},S2 = {5, 4, 4, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1},S3 = {7, 7, 4, 3, 3, 3, 2, 1},S4 = {6, 5, 4, 3, 3, 3, 2, 0};cout<<isGraphic(S1)<<endl;cout<<isGraphic(S2)<<endl;cout<<isGraphic(S3)<<endl;cout<<isGraphic(S4)<<endl;return 0;
}

图的基本操作

并与和

两个图的并必须是不相交的, 对于图GGG和HHH, 有

G∪H:{V(G∪H)=V(G)∪V(H)E(G∪H)=E(G)∪E(H)G\cup H:\begin{cases} V(G\cup H)=V(G)\cup V(H)\\[5pt] E(G\cup H)=E(G)\cup E(H)\\ \end{cases} G∪H:⎩⎨⎧V(G∪H)=V(G)∪V(H)E(G∪H)=E(G)∪E(H)

两个不相交图的和G+HG+HG+H是指在G∪HG\cup HG∪H的基础上, 增加GGG的每个结点与图HHH的每个结点相连接得到的边.

边与结点的删除

设vvv是GGG 的结点, 则G−vG-vG−v是指从图GGG 中删除结点vvv, 并将所有与结点vvv相关联的边删除.
设eee是图GGG 的一条边, 那么G−eG-eG−e是指从图GGG 中删除边eee.

补图

类比集合的补运算, 图GGG的补图G‾\overline{G}G满足V(G‾)=V(G)V(\overline G)=V(G)V(G)=V(G), 并且当且仅当uv∉E(G)uv\notin E(G)uv∈/E(G)时, uv∈E(G‾)uv\in E(\overline G)uv∈E(G).

自补图: 图GGG与其补图同构. 自补图GGG满足阶nnn可以表示成4k4k4k或者4k+14k+14k+1的形式, kkk为非负整数, 并且图GGG有n(n−1)/4n(n-1)/4n(n−1)/4条边.

笛卡尔积

又称叉乘, 指两个图的结点之间进行笛卡尔积. 满足结合律.

利用笛卡尔积可以定义如下的几种图.

超立方体

递归定义, 可由定义式扩展到高维空间.

Q1=K2,Qn=K2×Qn−1.Q_1=K_2,Q_n=K_2\times Q_{n-1}. Q1=K2,Qn=K2×Qn−1.

网格

M(m,n)=Pm×Pn,M(p,q,r)=Pp×Pq×Pr.M(m,n)=P_m\times P_n,\\ M(p,q,r)=P_p\times P_q\times P_r. M(m,n)=Pm×Pn,M(p,q,r)=Pp×Pq×Pr.

线图

线图L(G)L(G)L(G)的结点集由原图GGG边构成, 将原图GGG结点进行标记之后容易得到线图.

边收缩

设uvuvuv是GGG的一条边, 将节点u,vu,vu,v和与这两个结点相关联的边都去掉, 并添加一个结点uv∗uv^*uv∗, 使得uv∗uv^*uv∗与原结点u,vu,vu,v相邻接的结点邻接, 记为G/uvG/uvG/uv.

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