电磁学乱七八糟的符号(三)

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author:何伟宝

这里重点是针对各种入射反射折射,chapter5 电磁波的传播

文章目录

电磁学乱七八糟的符号(三)
- review
- 平面电磁波,理想介质to理想介质,垂直入射
- - 反射系数R
  - 折射系数T
  - 合成波场量
- 平面电磁波,理想介质to理想介质,斜入射
- - 1.垂直极化波
  - 斯涅尔反射定律
  - 斯涅尔折射定律
  - 折射指数,折射率
  - 2.平行极化波
  - 3.全反射
  - - 临界角$\theta_c$
    - 全内反射
    - - 慢波&&表面波
  - 4.全折射
  - - 布儒斯特角&&极化角$\theta_b$
- 平面电磁波,理想介质to理想导体,垂直入射
- - 纯驻波
- 平面电磁波,理想介质to理想导体,斜入射
- - 垂直极化入射
  - - x方向上的行波性
    - z方向上的驻波性
    - 振幅非均匀性
    - 横电波性(TE波)
  - 平行极化入射
  - - x方向上的行波性
    - - 行波因子$e^{-j(k_{1}xsin\theta_{i}-{\omega}t)}$
    - z方向上的驻波性
    - - 驻波因子$^{sin}_{cos}(k_{1}zcos\theta_{i})$
    - 振幅非均匀性
    - *横磁波(TM波)
- 结语

review

1.上两张图说明一下极化是怎么回事

2.行波与驻波
1.驻波

每一个点都在等相位震荡

借了,平面电磁波,理想介质to理想导体,垂直入射讲了一下

2.行波(没找到好一点的图,凑合着看吧)

每一个点都在等幅震荡

平面电磁波,理想介质to理想介质,垂直入射

这里借一个最普通的情况,说明基本概念:

反射系数R

R=Ex0−rEx0+i=η2−η1η2+η1R=\frac {E^{-r}_{x0}}{E^{+i}_{x0}}=\frac{\eta_2-\eta_1}{\eta2+\eta1}R=Ex0+iEx0−r=η2+η1η2−η1
定义为边界上反射波电场分量与入射波电场分量之比

折射系数T

T=Ex0+tEx0+i=2η2η2+η1T=\frac {E^{+t}_{x0}}{E^{+i}_{x0}}=\frac{2\eta_2}{\eta2+\eta1}T=Ex0+iEx0+t=η2+η12η2
定义为边界上折射波电场分量与入射波电场分量之比
可以观察到有:
T−R=1T-R=1T−R=1

合成波场量

看书的图看书的图看书的图看书的图:
E1x(z)=Exo+i(1−R)e−jk1z+2REx0+icosk1zE_{1x}(z)= E^{+i}_{xo}(1-R)e^{-jk_{1}z}+2RE^{+i}_{x0}cosk_{1}z E1x(z)=Exo+i(1−R)e−jk1z+2REx0+icosk1z
H1y(z)=Ex0+iη1(1−R)ejk1z+2REx0+iη1e−jπ2sink1zH_{1y}(z)=\frac{E^{+i}_{x0}}{\eta_1}(1-R)e^{jk_{1}z}+2R\frac{E^{+i}_{x0}}{\eta_1}e^{-j\frac{\pi}{2}}sink_1zH1y(z)=η1Ex0+i(1−R)ejk1z+2Rη1Ex0+ie−j2πsink1z
对于折射波:
E2x(z)=TEx0+ie−jk2zE_{2x}(z)=TE^{+i}_{x0}e^{-jk_2 z}E2x(z)=TEx0+ie−jk2z
E2y(z)=TEx0+iη2e−jk2zE_{2y}(z)=T\frac{E^{+i}_{x0}}{\eta_2}e^{-jk_2 z}E2y(z)=Tη2Ex0+ie−jk2z

平面电磁波,理想介质to理想介质,斜入射

1.垂直极化波

1.垂直极化波:电场强度分量与入射角垂直的波称为垂直极化波

斯涅尔反射定律

θi=θr\theta_i=\theta_r θi=θr

斯涅尔折射定律

sinθisinθt=k2k1=n2n1\frac {sin \theta_i}{sin \theta_t}=\frac{k_2}{k_1}=\frac{n_2}{n_1} sinθtsinθi=k1k2=n1n2
其中

折射指数,折射率

n=cμε=cωkn=c\sqrt{\mu\varepsilon}=\frac c \omega k n=cμε=ωck

垂直极化波的反射系数和折射系数
R⊥=η2cosθi−η1cosθtη2cosθi+η1cosθtR_{\bot}=\frac{\eta_{2}cos\theta_{i}-{\eta_{1}cos\theta_{t}}}{\eta_{2}cos\theta_{i}+{\eta_{1}cos\theta_{t}}}R⊥=η2cosθi+η1cosθtη2cosθi−η1cosθt
T⊥=2η2cosθiη2cosθi+η1cosθtT_{\bot}=\frac{2\eta_{2}cos\theta_{i}}{\eta_{2}cos\theta_{i}+{\eta_{1}cos\theta_{t}}}T⊥=η2cosθi+η1cosθt2η2cosθi

对于非铁磁性媒质,μ1≈μ2≈μ0\mu_{1}\approx\mu_{2}\approx\mu_{0}μ1≈μ2≈μ0,则有η1η2=ε1ε2\frac{\eta_{1}}{\eta_{2}}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{2}}}η2η1=ε2ε1和sinθt=ε2ε1sin\theta_{t}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}}}sinθt=ε1ε2上式可改为

R⊥=cosθi−ϵ2ϵ1−sin2θicosθi+ϵ2ϵ1−sin2θiR_{\bot}=\frac{cos\theta_{i}-\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}-sin^{2}\theta_{i}}}{cos\theta_{i}+\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}-sin^{2}\theta_{i}}}R⊥=cosθi+ϵ1ϵ2−sin2θicosθi−ϵ1ϵ2−sin2θi

T⊥=2cosθicosθi+ϵ2ϵ1−sin2θiT_{\bot}=\frac{2cos\theta_{i}}{cos\theta_{i}+\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}-sin^{2}\theta_{i}}}T⊥=cosθi+ϵ1ϵ2−sin2θi2cosθi

2.平行极化波

2.平行极化波:电场强度分量与入射角平行的波称为平行极化波
平行极化波的发射系数和折射系数:
R//=η1cosθi−η2cosθtη1cosθi+η2cosθtR_{//}=\frac{\eta_{1}cos\theta_{i}-{\eta_{2}cos\theta_{t}}}{\eta_{1}cos\theta_{i}+{\eta_{2}cos\theta_{t}}}R//=η1cosθi+η2cosθtη1cosθi−η2cosθt
T//=2η2cosθiη1cosθi+η2cosθtT_{//}=\frac{2\eta_{2}cos\theta_{i}}{\eta_{1}cos\theta_{i}+{\eta_{2}cos\theta_{t}}}T//=η1cosθi+η2cosθt2η2cosθi

对于非铁磁性媒介,上两式可改写为
R//=(ε2/ε1)cosθi−ϵ2ϵ1−sin2θi(ε2/ε1)cosθi+ϵ2ϵ1−sin2θiR_{//}=\frac{({\varepsilon_{2}/\varepsilon_{1}})cos\theta_{i}-\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}-sin^{2}\theta_{i}}}{({\varepsilon_{2}/\varepsilon_{1}})cos\theta_{i}+\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}-sin^{2}\theta_{i}}}R//=(ε2/ε1)cosθi+ϵ1ϵ2−sin2θi(ε2/ε1)cosθi−ϵ1ϵ2−sin2θi

T//=2ε2/ε1cosθi(ε2/ε1)cosθi+ϵ2ϵ1−sin2θiT_{//}=\frac{2\sqrt{{\varepsilon_{2}/\varepsilon_{1}}}cos\theta_{i}}{({\varepsilon_{2}/\varepsilon_{1}})cos\theta_{i}+\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}-sin^{2}\theta_{i}}}T//=(ε2/ε1)cosθi+ϵ1ϵ2−sin2θi2ε2/ε1cosθi

显然,斜入射就是可以分解成垂直极化波和水平极化波而被介绍.

3.全反射

当 |R|=1时,入射波全部反射走了:
显然让$R_{\bot} 和和和R_{//}$都等于1时会有全反射:
(5,1)sinθi=ε2ε1sin \theta_i =\sqrt{\frac {\varepsilon_2}{\varepsilon_1}} \tag {5,1}sinθi=ε1ε2(5,1)
对于非铁磁性媒质,μ1≈μ2≈μ0\mu_{1}\approx\mu_{2}\approx\mu_{0}μ1≈μ2≈μ0,有:
sinθi=ε2ε1sinθtsin \theta_i =\sqrt{\frac {\varepsilon_2}{\varepsilon_1}}sin\theta_tsinθi=ε1ε2sinθt
显然当θt=π2\theta_t=\frac \pi 2θt=2π时全反射,但这个不是重点,因为自变量是θi\theta_iθi,所以这只是一个现象而已.
所以有:

临界角θc\theta_cθc

满足1.1的θi\theta_iθi记作θc\theta_cθc有:
θc=arcsinε2ε1\theta_c= arcsin \sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}} θc=arcsinε1ε2
当θi=θc时有:sinθc=1,θt=π2\theta_i =\theta_c 时有:sin\theta_c=1 ,\theta_t =\frac \pi 2θi=θc时有:sinθc=1,θt=2π

全内反射

当入射角大于临界角之后,可以求出:
sinθ3t=ε1ε2sinθ3i>sinθt=1sin\theta_{3t}=\sqrt{\frac {\varepsilon_1}{\varepsilon_2}}sin\theta_{3i}>sin\theta_t=1 sinθ3t=ε2ε1sinθ3i>sinθt=1
可以看出这个角用平面已经没办法解析了,应该放成复平面再用欧拉公式展开才能探看,但是所幸的是:
cosθ3t=1−sin2θ3t=±jε1ε2sin2θ3i−1=±j(ε1ε2)12sin2θ3i−ε2/ε1=±jacos\theta_{3t} =\sqrt{1-sin^2\theta_{3t}}=\pm j \sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}sin^2\theta_{3i}-1}\\ \quad \quad=\pm j(\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2})^{\frac 12}\sqrt{sin^2\theta_{3i}-\varepsilon_2/\varepsilon_1}=\pm j acosθ3t=1−sin2θ3t=±jε2ε1sin2θ3i−1=±j(ε2ε1)21sin2θ3i−ε2/ε1=±ja
可以代入反射系数公式,还是可以得到∣R⊥∣=∣R//∣=1|R_{\bot}|=|R_{//}|=1∣R⊥∣=∣R//∣=1,还是达到了全反射的条件
但是这个时候,可以代入折射系数可知,T⊥≠0,T//≠0T_{\bot}\neq 0 , T_{//}\neq 0T⊥̸=0,T//̸=0,此时随便带入一个方向的折射波方程得(以垂直为例):
E⃗t(r⃗)=a⃗yT⊥E0+ie−jk2xsinθ3te−jk2zcosθ3ta⃗yT⊥E0+ie−azejk2xsinθ3t\vec E^t(\vec r)=\vec a_y T_{\bot}E^{+i}_0 e^{-jk_2xsin\theta_{3t}}e^{-jk_2zcos\theta_{3t}}\\ \quad \vec a_y T_{\bot}E^{+i}_0e^{-az}e^{jk_2 xsin\theta_{3t}}Et(r)=ayT⊥E0+ie−jk2xsinθ3te−jk2zcosθ3tayT⊥E0+ie−azejk2xsinθ3t
可以看到,此时的TEM波已经变成了
振幅往+z方向衰减,方向沿+x方向传播的非均匀平面波,综合反射折射来看,就可以说是很像光纤了

画了个小图,自己了解一下.
从图都可以得出,反射和折射的表面波之间是存在光程差,也就存在着相移,考虑该波等相面:
k2xsinθ3t−ωt=Ck_2 xsin\theta_{3t}-\omega t=C k2xsinθ3t−ωt=C
求导得相速:

慢波&&表面波

vpx=ωk2sinθ3t=vpsinθ3t<vpv_{px} = \frac{\omega}{k_2 sin\theta_{3t}}=\frac {v_p}{sin\theta_{3t}}<v_p vpx=k2sinθ3tω=sinθ3tvp<vp
所以称该波为慢波,或者是表面波

建议看书P147-148

4.全折射

同理,入射波全部折射进理想介质2,但理论上我们只考虑R//=0R_{//}=0R//=0具体原因可以看书!
整理得:

布儒斯特角&&极化角θb\theta_bθb

sinθi=ε2ε2+ε1sin \theta_i =\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_2 +\varepsilon_1} sinθi=ε2+ε1ε2
当存在θi\theta_iθi满足上式时,记作布儒斯特角θb\theta_bθb:
θb=arcsinε2ε1+ε2\theta_b=arcsin\sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}}θb=arcsinε1+ε2ε2
此时会有垂直极化分量剩余,也就是说,发生全折射的时候,会剩下垂直极化分量
所以这过程也会被称为极化滤波.所以布儒斯特角也称为极化角

平面电磁波,理想介质to理想导体,垂直入射

由于良导体存在趋肤效应,所以研究折射是没有意义的,所以这里只需要研究全反射条件.

由前文的垂直入射的反射系数和折射系数可以看到:
R=−1T=0R=-1 \quad \quad T=0 R=−1T=0
也可以由理想导体的边界中,电场强度切向连续得到,代入前面的垂直入射分析中得:
E⃗1x(z)=E⃗x0+i(e−jk1z−ejk1z)=−j2E⃗x0+isink1z\vec E_{1x}(z)=\vec E^{+i}_{x0}(e^{-jk_1 z}-e^{jk_1 z}) = -j2\vec E^{+i}_{x0}sink_1 z E1x(z)=Ex0+i(e−jk1z−ejk1z)=−j2Ex0+isink1z
E⃗1y(z)=E⃗x0+iη1(e−jk1z+ejk1z)=2η1E⃗x0+icosk1z\vec E_{1y}(z)= \frac {\vec E^{+i}_{x0}}{\eta_1} (e^{-jk_1 z}+e^{jk_1 z}) = \frac 2{\eta_1} \vec E^{+i}_{x0}cosk_1 z E1y(z)=η1Ex0+i(e−jk1z+ejk1z)=η12Ex0+icosk1z

改写成瞬时形式:
E1x(z,t)=Re[E1x(z)ejωt]=2Ex0+isink1zsinωtE_{1x}(z,t)=Re[E_{1x}(z)e^{j\omega t}]=2E^{+i}_{x0} \quad \quad sink_1 z \quad \quad sin \omega t E1x(z,t)=Re[E1x(z)ejωt]=2Ex0+isink1zsinωt
H1y(z,t)=Re[H1y(z)ejωt]=2η1Ex0+icosk1zcosωtH_{1y}(z,t)=Re[H_{1y}(z)e^{j\omega t}]=\frac 2 {\eta_1}E^{+i}_{x0}\quad \quad cosk_1 z\quad\quad cos\omega t H1y(z,t)=Re[H1y(z)ejωt]=η12Ex0+icosk1zcosωt

由公式可以看出:

在固定一个x-y平面(z固定),波幅只会因为t而改变,这个改变是通过改变相位而来的
在固定一个周期中(t固定), 相位不会因为z的传播而改变
在固定一个周期中(t固定), 波幅会因为z的传播而震荡

直观一点来说,只要你固定x-y平面,固定看一个周期,想着z往着图里投射波形,就可以看见blog开头的

纯驻波

还可以在时均能流密度SavS_{av}Sav中:
S⃗av=12Re[a⃗zE1x(z)H⃗1y∗(z)]=12Re[−a⃗zj4∣Ex0+i∣2η1sink1zcosk1z]=0\vec S_{av}=\frac12 Re[\vec a_zE_{1x}(z)\vec H^*_{1y}(z)] \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad =\frac 12Re[-\vec a_z j\frac {4|E^{+i}_{x0}|^2}{\eta_1}sink_1zcosk_1z]=0Sav=21Re[azE1x(z)H1y∗(z)]=21Re[−azjη14∣Ex0+i∣2sink1zcosk1z]=0
可以看出驻波并不会传输能量,只是周期地把电场能量和磁场能量交换了而已.

平面电磁波,理想介质to理想导体,斜入射

跟之前是一样的,斜入射分成垂直极化波和水平极化波来分析
也是只研究全反射

垂直极化入射

垂直极化入射情况下的合成波:
E⃗1(r⃗)=E⃗i(r⃗)+E⃗r(r⃗)=−a⃗yj2E0+isin(k1zcosθi)e−jk1xsinθi\vec E_{1}(\vec r)=\vec E^{i}(\vec r)+\vec E^{r}(\vec r)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\ = -\vec{a}_{y}j2E^{+i}_{0}\quad sin(k_{1}zcos\theta_{i})\quad e^{-jk_{1}xsin\theta_{i}}E1(r)=Ei(r)+Er(r)=−ayj2E0+isin(k1zcosθi)e−jk1xsinθi
H⃗1(r⃗)=H⃗I(r⃗)+H⃗r(r⃗)=[−ax⃗cosθicos(k1zcosθi)−az⃗jsinθisin(k1zcosθi)]2E0+iη1e−jk1xsinθi\vec H_{1}(\vec r)=\vec H^{I}(\vec r)+\vec H^{r}(\vec r)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=[-\vec{a_{x}}cos\theta_{i}cos(k_{1}zcos\theta_{i})-\vec{a_{z}}jsin\theta_{i}sin(k_{1}zcos_{\theta_{i}})]\frac{2E^{+i}_{0}}{\eta_{1}}e^{-jk_{1}xsin\theta_{i}}H1(r)=HI(r)+Hr(r)=[−axcosθicos(k1zcosθi)−azjsinθisin(k1zcosθi)]η12E0+ie−jk1xsinθi
可以看出(统一看电场,因为几乎所有定义都是用电场定义的):

x方向上的行波性

由e−j(k1xsinθi−ωt)e^{-j(k_{1}xsin\theta_{i}-\omega t)}e−j(k1xsinθi−ωt)给出,而且传播相速为慢波:
vpx=ωk1sinθi=vpsinθi<vpv_{px}=\frac{\omega}{k_1 sin\theta_i}=\frac{v_p}{sin \theta_i}<v_pvpx=k1sinθiω=sinθivp<vp

z方向上的驻波性

由sin(k1zcosθi)sin(k_{1}zcos\theta_{i})sin(k1zcosθi)可以得到

振幅非均匀性

振幅往+z方向做周期性变化,方向沿+x方向等相面传播的非均匀平面波

以上者三点都有点类似于全内反射

横电波性(TE波)

平行极化入射

E⃗1(r⃗)=−[a⃗xjcosθisin(k1zcosθi)+a⃗zsinθicos(k1zcosθi)]2E0+ie−jk1xsinθi\vec E_1(\vec r)=-[\vec a_x jcos\theta_i sin(k_1 zcos\theta_i)+\vec a_z sin\theta_i cos(k_1 zcos\theta_i)] 2E_0^{+i}e^{-jk_1 xsin\theta_i} E1(r)=−[axjcosθisin(k1zcosθi)+azsinθicos(k1zcosθi)]2E0+ie−jk1xsinθi
H⃗1(r⃗)=a⃗y2E0+iη1cos(k1zcosθi)e−jk1xcosθi\vec H_1(\vec r)=\vec a_y 2\frac{E_0^{+i}}{\eta_1}cos(k_1 z cos\theta_i)e^{-jk_1 xcos\theta_i}H1(r)=ay2η1E0+icos(k1zcosθi)e−jk1xcosθi
同上分析,依然有:

x方向上的行波性

行波因子e−j(k1xsinθi−ωt)e^{-j(k_{1}xsin\theta_{i}-{\omega}t)}e−j(k1xsinθi−ωt)

由行波因子表示,而且传播相速为慢波:

vpx=ωk1sinθi=vpsinθi<vpv_{px}=\frac{\omega}{k_1 sin\theta_i}=\frac{v_p}{sin \theta_i}<v_pvpx=k1sinθiω=sinθivp<vp

z方向上的驻波性

驻波因子cossin(k1zcosθi)^{sin}_{cos}(k_{1}zcos\theta_{i})cossin(k1zcosθi)

由驻波因子表示

振幅非均匀性

振幅随z变化的非均匀平面波

*横磁波(TM波)

在x的传播方向上电场分量不为0,磁场分量为0

结语

第五章算是写完了,剩下的内容课上也没有介绍了,
开始从单纯的抄写公式到以公式入手理解意义了.也开始配了简单的图
但是万万不足的是,blog上大多其实还是结论,
真正要处理的波动方程除了难一点的之外都没有写出,还需要大家好好看书!

如果你想请我吃个南五的话