正解:容斥

解题报告:

传送门!

两个方法,分别港下QAQ

先说第一种

首先要推出式子,就∑2*C(i,n)*(-1)i+1*3i*3n*n-n+3*∑∑(-1)i+j+1*C(i,n)*C(j,n)*3(n-i)(n-j)

理解其实不难理解的?就至少有i行j列相同的方案数嘛

具体来说,首先从n行中选i行,n列中选j列的方案数是C(i,n)*C(j,n),然后除了这i行这j列以外还有(n-i)(n-j)个格子,这些格子都可以随便填的,所以是3(n-i)(n-j),然后选出的这i行j列的颜色有3种可能所以最前面有个3,容斥不解释了太显然

然后这显然是个暴力,要n2地跑,过不去

所以考虑怎么优化QAQ

可以发现前面那个复杂度是对的麻油什么问题,是后面那个式子要优化嘛,所以只看后面那个式子就好

可以先把i提到前面,就变成了3*∑(-1)i+1*C(i,n)∑(-1)j*C(j,n)*3(n-i)(n-j)

然后这样子,有点麻烦,可以考虑把i替换成n-i,j替换成n-j,又因为C(n-i,n)=C(i,n),C(n-j,n)=C(j,n)

所以就变成,3*∑(-1)i+1*C(i,n)∑(-1)i+j+1*C(j,n)*3i*j,-1放进去就是3*∑(-1)i+1*C(i,n)∑*C(j,n)*(-3i)*j

然后考虑二项式定理,(a+b)n=∑C(i,n)*ai*bn-i

所以后面∑(-1)j*C(n-j,n)*3(n-i)(n-j)这一堆,就可以变成(1-3i)n

但是这里注意一下,二项式定理中的i是从0开始的,然后上面列出来的式子是从1开始的,所以加多了,所以要减一个[(-3)i]n

综上,就求个∑2*C(i,n)*(-1)i+1*3i+n*n-n+3*∑(-1)i+1*C(i,n)*[(1-3i)n-(-3i)n]

大概就这样儿,over

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define il inline
#define ll long long
#define gc getchar()
#define rl register ll
#define rc register char
#define rb register bool
#define rp(i,x,y) for(rl i=x;i<=y;++i)
#define my(i,x,y) for(rl i=x;i>=y;--i)
const ll N=1000000+10,mod=998244353;
ll n,c[N],as;
il ll read()
{
rc ch=gc;rl x=0;rb y=1;
while(ch!='-' && (ch>'9' || ch<'0'))ch=gc;
if(ch=='-')ch=gc,y=0;
while(ch>='0' && ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0'),ch=gc;
return y?x:-x;
}
il ll power(rl x,rl y){rl as=1;while(y){if(y&1)as=1ll*(as*x)%mod;x=1ll*(x*x)%mod;y>>=1;}return as;}
il void pre(){c[0]=1;rp(i,1,n)c[i]=c[i-1]*(n-i+1)%mod*power(i,mod-2)%mod;}
int main()
{
freopen("cf997c.out","w",stdout);
n=read();if(n==1)return printf("3\n"),0;pre();
rp(i,1,n)as=(as+c[i]*(i&1?1:mod-1)%mod*power(3,i+n*n-n*i)%mod)%mod;as=(as<<1)%mod;
rp(i,1,n){rl powwer=power(3,n-i);as=(as+3*c[i]%mod*(i&1?1:mod-1)%mod*(power(powwer-1,n)-power(powwer,n)+mod)%mod)%mod;}
printf("%lld\n",as);
return 0;
}

这儿是代码QAQ

然后港下法二

首先看上面那个,是正着推的嘛

所以考虑转化一下,变成总数-每一行每一列都不同的方案数,也就是-每一行每一列至少有2种颜色的方案数

然后这里是有两个限制嘛,一个行一个列

这里就有一个套路,就是说如果有两个限制,就把一个容斥了,另一个就能比较简单地做掉

就首先想列,首先对某一列的总共染色方案是3n,然后不合法的方案有3种,就3n-3,然后有n列,所以总的是(3n-3)n

然后考虑这样子显然还会多减去合法的行相等的情况

然后多减的是什么的,就至少有一行颜色相同且每一列至少有两种颜色的方案

所以就枚举有多少行是只有一种颜色的

一样先放式子再解释

首先C(i,n)不解释,你肯定要从n行中选出i行来嘛

然后这时候会发现其实是有两种情况的

一种是这些颜色相同的行的颜色都相同,那就只有3种颜色可以选择

然后就还会剩下n*(n-i)个格子麻油涂颜色嘛

这时候想,因为我们是在任何一列至少有两种颜色的大背景下考虑的,所以如果我们现在减了一个某一列只有一种颜色的方案就是减多了对趴

所以对这些格子n列分别考虑,对每一列,本来应该有3n-i种选择方案,然后发现如果所有格子都选了和最上面那i行颜色相同的方案就GG了,所以-1

所以这里就是3*(3n-i-1)n

还一种就他们颜色不是全部相同咯

那对这i行就有3i种方案,因为上面我们已经算过所有行都相同颜色的情况了嘛,所以要减三种,所以是3i-3

然后这时候其他格子就可以放心大胆涂辣显然不会有问题,所以3n*(n-i)

综上,这一段的式子就是C(i,n)*(3*(3n-i-1)n+(3i-3)*3n*(n-i))

最后总结一下,整个题目的式子就可以表示成3n*n-(3n-3)n-(-1)i*C(i,n)*(3*(3n-i-1)n+(3i-3)*3n*(n-i))

代码难度并不大,,,所以就懒得打了QAQ放个别人的代码QAQ

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
#define MOD 998244353
#define MAX 1000100
int fpow(int a,int b){int s=1;while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}return s;}
int n;
int jc[MAX],jv[MAX],inv[MAX];
int C(int n,int m){return 1ll*jc[n]*jv[m]%MOD*jv[n-m]%MOD;}
int p[MAX];
int main()
{
freopen("A.in","r",stdin);
freopen("A.out","w",stdout);
cin>>n;if(n==1){puts("3");return 0;}
jc[0]=jv[0]=inv[0]=inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
for(int i=1;i<=n;++i)jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%MOD;
for(int i=1;i<=n;++i)jv[i]=1ll*jv[i-1]*inv[i]%MOD;
p[0]=fpow(fpow(3,n)-3,n)%MOD;
for(int j=1;j<=n;++j)
{
int s=1ll*(fpow(3,j)-3)*fpow(fpow(3,n-j),n)%MOD;
int QwQ=fpow(fpow(3,n-j)-1,n);
s=(s+3ll*QwQ)%MOD;
p[j]=1ll*C(n,j)*s%MOD;
}
int ans=p[0];
for(int i=1,d=MOD-1;i<=n;++i,d=MOD-d)ans=(ans+1ll*d*p[i])%MOD;
ans=(fpow(fpow(3,n),n)+MOD-ans)%MOD;
printf("%d\n",ans);
return 0;
}

View Code

CF997C Sky Full of Stars 数论相关推荐

  1. CF997C Sky Full of Stars

    CF997C , Luogu 有一个 \(n \times n ( n \leq 10^6)\)的正方形网格,用红色,绿色,蓝色三种颜色染色,求有多少种染色方案使得至少一行或一列是同一种颜色.结果对 ...

  2. cf997C. Sky Full of Stars(组合数 容斥)

    题意 题目链接 \(n \times n\)的网格,用三种颜色染色,问最后有一行/一列全都为同一种颜色的方案数 Sol Orz fjzzq 最后答案是这个 \[3^{n^2} - (3^n - 3)^ ...

  3. 数论五之容斥——硬币购物,Gerald and Giant Chess,幸运数字,Sky Full of Stars,已经没有什么好害怕的了

    容斥的神 [HAOI2008]硬币购物 problem solution code CF559C Gerald and Giant Chess problem solution code [SCOI2 ...

  4. Codeforces 997 C - Sky Full of Stars

    C - Sky Full of Stars 思路: 容斥原理 题解:http://codeforces.com/blog/entry/60357 注意当i > 1 且 j > 1,是同一种 ...

  5. [Codeforces 997C]Sky Full of Stars(排列组合+容斥原理)

    [Codeforces 997C]Sky Full of Stars(排列组合+容斥原理) 题面 用3种颜色对\(n×n\)的格子染色,问至少有一行或一列只有一种颜色的方案数.\((n≤10^6)\) ...

  6. 【CodeForces 997C】Sky Full of Stars(组合计数)

    题目链接:[CodeForces 997C]Sky Full of Stars 官方题解:Codeforces Round #493 - Editorial 题目大意:有一个n×nn×nn\times ...

  7. CodeForces 997C Sky Full of Stars

    题目:点击打开链接 题意:给n*n个格子,每个格子可以填3种颜色.问有多少种填色方案,至少有一列或一行是同色的. 分析:首先反过来考虑,找不幸运的组合,因为这样便于容斥.  要把列和行分开考虑.  首 ...

  8. CF 997C Sky Full of Stars

    传送门 题目大意 思路 参考代码 总结 传送门 题目大意 有一个 n×n(n≤106)n×n(n≤106)n \times n \pod {n \le 10^6} 的正方形网格.用三种颜色对每个格子染 ...

  9. CodeForces - 997C Sky Full of Stars

    题面在这里! 题解见注释 /*设至少有i行,j列是一种颜色的方案数为 f(i,j)那么:1.i==0||j==0 时 , f(i,j) = C(n,i) * C(n,j) * 3^( (n-i)*(n ...

最新文章

  1. 现学现用!学完计组后,我马上在「我的世界」造了台显示器
  2. NH3.X与2.X使用上的一些区别
  3. 用html设计一个logo页面_如何设计一个Logo?——Bobu Africa旅行品牌Logo设计
  4. 《活法》中一个故事--令托尔斯泰也折服的人性寓言
  5. 不管你挣多少钱永远都是问题
  6. C# Random生成相同随机数的解决方案
  7. 小程序模板消息报错41028。解决方法
  8. 如何在 Azure 虚拟机里配置条带化
  9. 文献管理三剑客之endnote broken attachments
  10. 概率论与数理统计期末考试题及答案
  11. 职称计算机xp上机考试内容,全国职称计算机考试WindowsXP中文操作系统模块最新上机操作试题(1-12套)...
  12. 码code | 拒绝996,不用服务器也能高效开发小游戏
  13. 计算机本地连接没有有效ip配置,本地连接没有有效的ip配置怎么解决
  14. LeCo-136. 只出现一次的数字
  15. 程序员什么时候适合创业呢?
  16. 锐思财经专访:冒志鸿解读 Libra | ArcBlock 媒体
  17. 小巧的绿色html导航引导页
  18. Excel如何将单元格多数据拆分并
  19. 教你用代码实现一个网页老虎机游戏
  20. 微信web开发者工具 “当前代理是非安全代理” 或者“Error:unable vertify the first certification”

热门文章

  1. 三星网上商城星享6.18钜惠即将开启,高品质电视助力焕新生活
  2. What is Wine
  3. Jenkins定时构建和邮件发送
  4. iframe嵌入第三方视频链接自动播放
  5. 用Windows画图改变图片大小(附Linux企鹅头像完全版)。
  6. 什么是Node?(What's node) (译)
  7. Android UI设计——ViewPager中设置底部显示圆点焦点(二)
  8. UNhandled exception occurred[0xC0000005@0x6E9318F0] at PotPlayer.dll
  9. Google数据可视化团队:数据可视化指南
  10. 常用KINDLE书籍下载网址