大根堆、小根堆（数组模拟操作）

1.什么是大根堆、小根堆？

首先堆应该是一颗完全二叉树，大根堆就是二叉树的所有父节点的值都比左右孩子的值大，小根相反。下面是大根堆和小根堆的图：

如上，左图是一个大根堆，右图是一个小根堆。

2.树的数组存储

我们可以将树存储在一个数组中：

根结点存储在位置0，根的左孩子存储在位置1，右孩子存储在位置2。由此可以得出如下公式：

如果父节点的位置为i，那么他的左孩子和右孩子的位置分别为2*i+1和2*i+2。

如果一个结点的位置为i,那么他的父节点的位置为（i-1）/2;

3.大根堆小根堆的操作

由于大根堆和小根堆的操作基本相同，只是结点比较的方式不一样，一个取大，一个取小。我们在这里以大根堆为例。

3.1大根堆的插入操作

如上，我们在大根堆中插入一个元素45，首先先将元素插入在树的右下角（数组的末尾），然后将45与其父节点23比较，发现它比23大，将45与23交换，然后再将45与其新的父节点32比较，发现还比32大，再交换位置，再与54比较，发现比54小，位置不变，插入完成。

3.2大根堆的删除操作

首先大根堆只能删除根节点，另外，为了保证堆是一颗完全二叉树的特性，我们将树的右下角的元素赋值给根节点，然后将右下角节点删除（在数组中：将第一个元素删除，将最后一个元素赋值给第一个元素，将最后一个位置删除），然后调整二叉树。

如上图：我们要删除55，将右下角元素0赋值给55（也可以交换，然后不用管最后一个结点），这时根结点变为0，左后孩子分别为54和12，取左右孩子的最大值：54，54>0,将0和54交换位置，这时它的左右孩子变为44和23,取最大孩子44,44>0,交换位置，重复上述操作，直至0比它的左右孩子的值都大，或者没有左右孩子。

3.3代码实现

template<typename type>class MaxHeap
{public://插入操作void Insert(type e){//将新添加的结点插入到队尾_maxHeap.push_back(e);//得到自己和父节点的索引int selfIndex = _maxHeap.size() - 1;int fatherIndex = (selfIndex - 1) / 2;//将新插入的元素放入到合理的位置while (fatherIndex >= 0 && selfIndex != 0){if (_maxHeap[fatherIndex] >= e)break;_maxHeap[selfIndex] = _maxHeap[fatherIndex];selfIndex = fatherIndex;fatherIndex = (fatherIndex - 1) / 2;}_maxHeap[selfIndex] = e;}//删除操作void Delete(){//删除堆顶元素if (!_maxHeap.empty()){cout << "删除了堆顶元素:" << _maxHeap[0] << endl;//将末尾元素赋值给堆顶_maxHeap[0] = _maxHeap[_maxHeap.size() - 1];//将末尾元素删除_maxHeap.pop_back();}//从上到下对堆进行调整Adjust();}void Adjust(){if (_maxHeap.empty())return;//堆顶元素type topEle = _maxHeap[0];int fatherIndex = 0;int childIndex = fatherIndex * 2 + 1;while (childIndex < _maxHeap.size()){//如果右孩子也存在，指向左右孩子中较大的结点if (childIndex + 1 < _maxHeap.size() && _maxHeap[childIndex] < _maxHeap[childIndex + 1])childIndex++;if (_maxHeap[childIndex] <= topEle)break;_maxHeap[fatherIndex] = _maxHeap[childIndex];fatherIndex = childIndex;childIndex = childIndex * 2 + 1;}_maxHeap[fatherIndex] = topEle;}void Show(){for (auto ele : _maxHeap){cout << ele << ends;}cout << endl;}
private:vector<type> _maxHeap;
};