2.2 一阶逻辑合式公式及解释

本节类比第一章给了我们几个新的概念，这里给大家梳理一下。

通过这些定义我们可以看出其和之前在命题公式中的定义是类似的，通过有限次的运用这些联结词将原子公式连接起来组成合式公式（又称谓词公式）。比较特殊的就是某一个合式公式之前加了量词后还是谓词公式。

例：

由例题可见，在一个一阶逻辑公式中，某个个体变元的出现可以既是约束的又是自由的，为了避免混淆我们引入两个换名规则，如下：

例：

有了上述约束出现，自由出现的概念我们继续引出闭式的概念，如下：

例：

下面我们引入解释的概念：

性质:闭式公式在所给的解释下都是命题，对于非闭式的公式，如果进一步给每个自由出现的个体变项指定个体域中的一个元素，那么它也成为命题。

例 1：

例 2 ：

例 3 ：
设解释 R R R和赋值 v v v如下： D R D_R DR 是实数集， a = 0 a = 0 a=0，函数 f ( x , y ) = x − y f(x,y) = x-y f(x,y)=x−y,谓词 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)为 x < y x<y x<y , v : v : v: v ( x ) = 0 , v ( y ) = 1 , v ( z ) = 2 v(x)=0,v(y)=1,v(z)=2 v(x)=0,v(y)=1,v(z)=2.在解释 R R R和赋值 v v v下，判断下列哪些公式为真还是为假？
∀ \forall ∀ x ( F ( x , y ) → x(F(x,y)→ x(F(x,y)→ ∀ \forall ∀ y ( F ( y , z ) y(F(y,z) y(F(y,z)→ ∀ \forall ∀ z F ( x , z ) ) ) zF(x,z))) zF(x,z)))

在解释 R R R和赋值 v v v下可化为：
∀ \forall ∀ x ( ( x < 1 ) → x((x<1)→ x((x<1)→ ∀ \forall ∀ y ( ( y < 2 ) y((y<2) y((y<2)→ ∀ \forall ∀ z ( x < z ) ) ) z(x<z))) z(x<z)))

注意：上个例题的第二题中 ∀ \forall ∀ x x x的作用于只有前件，所以他说推出前件为假后其整体为真。但是这里 ∀ \forall ∀ x x x的作用于整个式子，所以其不能将前件单独拿出来判断整体的真假。这里的意思是在任意 x , y , z x,y,z x,y,z下，如果 x < 1 , y < 2 x<1,y<2 x<1,y<2那么（ x < z ）（x<z）（x<z）一定成立。显然为假，所以此公式为假。

赋值：对公式中每个自由出现的个体变项指定个体域中的一个元素

例：

例：

例：

练：

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性质:闭式公式在所给的解释下都是命题，对于非闭式的公式，如果进一步给每个自由出现的个体变项指定个体域中的一个元素，那么它也成为命题。

赋值：对公式中每个自由出现的个体变项指定个体域中的一个元素

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