信安数学/网安数学——证明形如4k-1的素数有无限个

Proof：

1. 首先要先引入一个结论：

一个4k-1型的数，必有至少一个4k-1型的素数因子

该结论的证明如下：

我们知道

（1）除2之外的所有素数均为奇数，都可以表示为4k+1或者4k-1 。

（2）且任何一个数都可以表示为某些素数的乘积形式（哥德巴赫猜想）。

反证法：假设一个4k-1型的数N可以表示为：N=（4k1+1）（4k2+1）....（4kn+1)

我们很容易得到该乘积的结果只能为4k+1形式，不能为4k-1形式，与已知的题干矛盾，所以得证：必有4k-1的素因子

2.接着开始证明：形如4k-1的素数有无限个

反证：如果形如4k-1的素数有限，则我们另S=（4k1-1）（4k2-1）....（4kn-1)=4k+1或者4k-1（其中加号和减号取决于n的奇偶性）

如果n是奇数，则S=4k-1，我们引入一个数M=S+4，即M=4k+3，也属于4k-1型的数。可知M肯定有一个4k-1型的素数因子，又已知S为有限个4k-1型的素数因子的乘积，所以由定理：

若a=q*b+c，则gcd(a,b)=gcd(b,c)

则存在gcd(M,S)=4km-1=gcd(S,4)

由于4的因子为1，2，4，不存在4k-1形式的数字，所以矛盾，假设不成立

如果n是偶数，则S=4k+1，取N=S+2，结果同上

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