Type-infity Wasserstein Ball
type- ∞ \infty ∞ Wasserstein distance
给定两个分布 P 1 , P 2 \mathbb{P}_1, \mathbb{P}_2 P1,P2,它们之间的 type- ∞ \infty ∞ Wasserstein distance 定义为:
d ∞ ( P 1 , P 2 ) : = inf Q ∈ P ( P 1 , P 2 , W ) Q -ess sup ∥ w ~ 1 − w ~ 2 ∥ d_{\infty}\left(\mathbb{P}_1, \mathbb{P}_2\right) := \mathop{\inf}\limits_{\mathbb{Q}\in\mathcal{P}(\mathbb{P}_1, \mathbb{P}_2,\mathcal{W})} \mathbb{Q}\text{-ess sup}\lVert \tilde{\boldsymbol{w}}_1 - \tilde{\boldsymbol{w}}_2 \rVert d∞(P1,P2):=Q∈P(P1,P2,W)infQ-ess sup∥w~1−w~2∥ 其中 w ~ 1 ∼ P 1 , w ~ 2 ∼ P 2 \tilde{\boldsymbol{w}}_1\sim\mathbb{P}_1, \tilde{\boldsymbol{w}}_2\sim\mathbb{P}_2 w~1∼P1,w~2∼P2, P ( P 1 , P 2 , W ) \mathcal{P}(\mathbb{P}_1, \mathbb{P}_2,\mathcal{W}) P(P1,P2,W) 表示 W × W \mathcal{W}\times\mathcal{W} W×W 上所有以 P 1 , P 2 \mathbb{P}_1, \mathbb{P}_2 P1,P2 为边缘的分布。
Q -ess sup ∥ ⋅ ∥ \mathbb{Q}\text{-ess sup} \lVert\cdot\rVert Q-ess sup∥⋅∥ 表示相对于联合分布 Q \mathbb{Q} Q 的范数 ∥ ⋅ ∥ \lVert\cdot\rVert ∥⋅∥ 的本质上界(essential supremum):
Q -ess sup ∥ w ~ 1 − w ~ 2 ∥ : = inf { t : Q [ ∥ w ~ 1 − w ~ 2 ∥ > t ] = 0 } \mathbb{Q}\text{-ess sup}\lVert \tilde{\boldsymbol{w}}_1 - \tilde{\boldsymbol{w}}_2 \rVert := \inf \left\{ t : \mathbb{Q}\left[ \lVert \tilde{\boldsymbol{w}}_1 - \tilde{\boldsymbol{w}}_2 \rVert > t \right]=0 \right\} Q-ess sup∥w~1−w~2∥:=inf{t:Q[∥w~1−w~2∥>t]=0}
type- ∞ \infty ∞ Wasserstein ball
F ∞ ( θ ) : = { P ∈ P ( W ) ∣ d ∞ ( P , P ^ ) ≤ θ } \mathcal{F}_{\infty}(\theta) := \left\{ \mathbb{P}\in\mathcal{P}(\mathcal{W}) \big| d_{\infty}(\mathbb{P},\hat{\mathbb{P}})\leq\theta \right\} F∞(θ):={P∈P(W)∣∣d∞(P,P^)≤θ} 其中 P ^ = 1 N ∑ i ∈ [ N ] δ w ^ i \hat{\mathbb{P}} =\frac{1}{N}\mathop{\sum}\limits_{i\in[N]}\delta_{\hat{\boldsymbol{w}}_i} P^=N1i∈[N]∑δw^i。
一个等价形式
Bertsimas et al. (2018) 证明:
F ∞ ( θ ) = { P ∈ P ( W ) ∣ P = 1 N ∑ i ∈ [ N ] P i , P i ∈ F i ( θ ) , ∀ i ∈ [ N ] } \mathcal{F}_{\infty}(\theta) = \left\{ \mathbb{P}\in\mathcal{P}(\mathcal{W}) \big| \mathbb{P}= \frac{1}{N}\mathop{\sum}\limits_{i\in[N]} \mathbb{P}_i, \mathbb{P}_i\in\mathcal{F}_i(\theta), \forall i\in[N] \right\} F∞(θ)=⎩⎨⎧P∈P(W)∣∣P=N1i∈[N]∑Pi,Pi∈Fi(θ),∀i∈[N]⎭⎬⎫ 其中 F i ( θ ) = { P ∈ P ( W ) ∣ P [ ∥ w ~ − w ^ i ∥ ≤ θ ] = 1 } \mathcal{F}_i(\theta) = \left\{ \mathbb{P}\in\mathcal{P}(\mathcal{W}) \big| \mathbb{P}[\lVert\tilde{\boldsymbol{w}}-\hat{\boldsymbol{w}}_i\rVert\leq\theta]=1 \right\} Fi(θ)={P∈P(W)∣∣P[∥w~−w^i∥≤θ]=1}
type- ρ \rho ρ Wasserstein distance
对任何 ρ ∈ [ 1 , ∞ ) \rho\in[1,\infty) ρ∈[1,∞),type- ρ \rho ρ Wasserstein distance 定义为
d ρ ( P 1 , P 2 ) : = inf Q ∈ P ( P 1 , P 2 , W ) E Q [ ∥ w ~ 1 − w ~ 2 ∥ ρ ] ρ d_{\rho}\left(\mathbb{P}_1, \mathbb{P}_2\right) := \mathop{\inf}\limits_{\mathbb{Q}\in\mathcal{P}(\mathbb{P}_1, \mathbb{P}_2,\mathcal{W})} \sqrt[\rho]{ \mathbb{E}_{\mathbb{Q}} \left[ \lVert \tilde{\boldsymbol{w}}_1 - \tilde{\boldsymbol{w}}_2 \rVert^{\rho} \right]} dρ(P1,P2):=Q∈P(P1,P2,W)infρEQ[∥w~1−w~2∥ρ]
Givens et al. 1984 证明:当 ρ \rho ρ 趋于无穷时,type- ρ \rho ρ Wasserstein distance 收敛到 type- ∞ \infty ∞ Wasserstein distance.
参考文献
[1] Bertsimas, Dimitris, Shtern Shimrit, Sturt Bradley. 2018. A data-driven approach for multi-stage linear optimization. Available at Optimization Online.
[2] Givens, Clark R, Rae Michael Shortt, et al. 1984. A class of wasserstein metrics for probability distributions. The Michigan Mathematical Journal 31(2) 231–240.
[3] Zhi Chen, Weijun Xie. Regret in the Newsvendor Model Revisited: A Data-Driven Perspective.
Type-infity Wasserstein Ball相关推荐
- vue 前端框架 (三)
VUE 生命周期 <!DOCTYPE html> <html><head><meta charset="utf-8"><tit ...
- input取消焦点 vue_Vue有什么特性,相对于其他框架都有那些优势!
(给达达前端加星标,提升前端技能) Vue所提供的一些相对高级的特性,表单操作,自定义指令,计算属性,过滤器,侦听器,生命周期. 表单操作的作用,用于用户的交互,通过表单来进行数据的交互. 基于Vue ...
- 怎么看android底层源码,Android 底层按键获取
与用户交互的输入设备(触摸屏,键盘等)是获取用户意图的来源.由于硬件本身的物理特性及由各大硬件厂商的标准不一,这将导致我们从设备上获取到的键值存在一定的差异性,为了让系统能够正确处理用户的操作,我们就 ...
- Vue常用特性——表单操作、表单域修饰符(number:转化为数值 ;trim:去掉开始和结尾的空格 ; lazy : 将input事件切换为change事件)||自定义指令|| 局部指令
Vue常用特性 常用特性概览 <!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head><meta charset=& ...
- java word批注_使用反射处理Java批注
java word批注 在上一篇有关Java注释的文章中,我概述了一个最近的用例,并为您提供了一些自定义注释的示例以及如何使用它们. 在本文中,我将更进一步,并为您提供一些自定义注释的示例,以及如何使 ...
- 使用反射处理Java批注
在上一篇有关Java注释的文章中,我概述了一个最近的用例,并为您提供了一些自定义注释的示例以及如何使用它们. 在本文中,我将更进一步,并为您提供一些自定义注释的示例,以及如何使用Java Reflec ...
- vue-day02-vue常用特性
文章目录 Vue常用特性 表单基本操作 表单修饰符 自定义指令 Vue.directive 注册全局指令 Vue.directive 注册全局指令 带参数 自定义指令局部指令 计算属性 compute ...
- 表单及数据提交、表单的作用、服务端接收提交的数据、php处理数据流程、文件域及文件域中数据处理、php展示数据(响应)
表单及数据提交: 表单的作用: 用于收集相关信息:html中有专门提交数据的标签,可以很容易的收集用户输入的信息,这个标签有两个重要的属性:action表单提交的地址和method以什么方式提交表单, ...
- [Vue.js] 基础 -- Vue常用特性
Vue常用特性 常用特性概览 表单操作 自定义指令 计算属性 过滤器 侦听器 生命周期 表单操作 基于Vue的表单操作 Input 单行文本 textarea 多行文本 select 下拉多选 rad ...
最新文章
- 【数据结构】顺序表的应用(4)(C语言)
- python Flask框架如何请求及返回数据——flask详细教程
- 在latex中导入endnote中的参考文献——简明步骤
- boost::mp11::mp_unique相关用法的测试程序
- Centos7 ubuntu 安装Telnet服务
- Composer fails to download http json files on update, not a network issue, https fine
- CentOS 7使用yum安装MYSQL
- php 12小时,使用php怎么将12小时制转换为24小时制
- 策略模式与简单工厂模式
- android9.0 从driver到APP(2)--hardware
- Mybatis——拦截器Interceptor
- GMP法规附录《计算机化系统》那些事儿
- Android面试题(一)
- linux启动项修复工具,Boot Repair Tool: 可以修复与启动相关的大部分问题
- win10电脑:。。。该内存不能为written.要终止程序,请单击确定
- Unitimes三周年重磅第二弹 Gitlab中国线上首秀
- IEEP部署企业级网络工程-网络故障-环路故障
- BeatSaber节奏光剑插件开发官方教程1-创建一个插件模板
- 利用谷歌语法查找网站后台和数据库
- 互联网新机遇:移动社交电商将成为下一个风口?
热门文章
- Python网页爬虫工具有哪些?
- android界面设计所用中文什么字体,手机软件中的字体是什么字体,ui界面设计用什么字体...
- 层次路由与路由选择协议
- 高通Linux Android 平台中的蓝牙功能学习 (4)-- Android Marshmallow 中的蓝牙 4.2
- 【Socket网络编程进阶与实战】------ Socket网络编程快速入门
- loadrunner录制网页脚本时打不开或打开慢
- 获取rowid的两种方法。
- Javaweb后端开发必学(HTML、CSS、JS、Vue)
- Python使用pyecharts库制作地图热力图
- IIS服务器部署php项目