在上一篇文章中，我们介绍了Union-Find算法，通过union()和find()操作来检测图中的循环。

然而那些操作虽然简单但却并不高效，最坏情况的时间复杂度是线性的即O(n)。这是因为，为了表示子集而创建的树可能是单向倾斜的，并变得像一个链表。

最坏情况的示例

假设有 4 个元素 0、1、2、3

最初，所有元素都是可以认为是单元素的子集。

随着我们不断进行Union()操作，元素之间的关系会变得像一个链表

上述情况类似于二叉查找树的极端情况，两者的时间复杂度都是线性的。二叉树可以通过旋转来维持平衡以保证时间复杂度维持在O(lonN)，相应的我们也可以采用一些手段来优化Union()和Find()两个操作。

第一个优化方法可以概述为，总是在更深的树的根下附加更小的深度树（rank值小的树连接到rank值大的树上）。这种技术称为union by rank。优先使用术语rank而不是 height，因为如果使用路径压缩技术（Path compression我们在下面讨论过），那么rank并不总是等于高度。此外，树的大小（代替高度）也可以用作rank，使用大小作为rank的最差时间复杂度也是O(LogN) 。

举例来说：

假设有 4 个元素 0、1、2、3

最初，所有元素都是可以认为是单元素的子集。

另外一个优化方法是路径压缩（Path Compression）。这个想法是在调用find()时展平树。当为元素 x 调用find()时，将返回树的根。find()操作从x 向上遍历找到根。路径压缩的思想就是把找到的根作为x的父节点，这样我们就不用再遍历所有的中间节点了。如果 x 是子树的根，则 x 下所有节点的路径（到根）也会压缩。

下图表示了一个从0到9的集合，当我们在上面调用find(3)时，

我们向上遍历并找到9作为这个子集的代表（根）。通过路径压缩，我们将 3 和 0 作为 9 的子节点，这样当下次为 0、1、2 或 3 调用 find() 时，到根的路径会减少。

压缩后的效果如下

这两种技术相辅相成。每个操作的时间复杂度变得低于O(Logn)

代码实现下载链接：

（包含各种语言：C语言、Python、Java、C++、C#、Javascript等均有示例）

免费资源下载：Union-Find

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