1：问题描述

来源：LeetCode

难度：中等

问题详情：
给你一个 32 位的有符号整数 x ，返回将 x 中的数字部分反转后的结果。

如果反转后整数超过 32 位的有符号整数的范围 [−231，231−1][−2^{31}，2^{31} − 1][−231，231−1] ，就返回 0。

假设环境不允许存储 64 位整数（有符号或无符号）。

2：问题分析

2.1 时间复杂度和空间复杂度

在真正开始介绍各种算法前，先以表格形式展示各自的时间复杂度和空间复杂度:

算法	时间复杂度	空间复杂度
列表法	O(log(x))O(log(x))O(log(x))	O(log(x))O(log(x))O(log(x))
数学解析法	O(log(x)log(x)log(x))	O(1)O(1)O(1)

2.2 列表法

题目本身强调了不允许使用64位的类型，因此当反转后数值超过 32位数能够表达的[−231，231−1][−2^{31}，2^{31} − 1][−231，231−1] 范围，也就无法直接使用int类型表达。这是比较麻烦的一点，否则可以直接使用转为字符串类型，然后再反向切片然后转为int即可。

使用列表从低位到高位依次存储x中的每一位的数值。
然后使用同样的操作存储界限值
首先比较两者的长度，如果x对应的反转列表长度较短，直接转换回int类型
如果两者长度相等，则从高位到低位依次对比数值大小，如果x对应的数较小，则转换为int类型返回；如果x对应的数较大，说明数值溢出了，返回0.

2.2.1 代码

def reverse(x: int) -> int:sign = 1if x < 0:sign = -1def get_list(x):x_list = []while x:x, t = divmod(x, 10) # 与 x = x // 10, t= x%10等价x_list.append(t)return x_listdef get_int(x_list):x = 0for i, item in enumerate(x_list):x += item * 10 ** (len(x_list) - i - 1)return xx = abs(x)x_list = get_list(x)  # 反转后的数值列表，因为转换为列表时出来的就是反的if sign == 1:top_list = get_list(2 ** 31)[::-1]  # 正常的边界值 + 1else:top_list = get_list(2 ** 31 + 1)[::-1]# 如果长度没有上限的大，那么不用担心这个反转后的数值超过边界值if len(x_list) < len(top_list):return get_int(x_list) * sign# 如果长度相等，那么就需要考虑是否超过界限：# 如果数值相等，那么说明刚好超过界限，直接返回0# 如果数值不等，那么就需要依次比较高位的数，如果有反转后的数值有高位大于界限，那么返回0# 如果高位小于界限，那么直接返回反转后的数值×符号位# 如果高位相等，则比较后边的高位值elif len(x_list) == len(top_list):if x_list == top_list:return 0for m, n in zip(x_list, top_list):if m > n:return 0elif m < n:return get_int(x_list) * sign

对于时间复杂度，因为int类型的数值长度l=int(log⁡10(x))+1l=int(\log _{10}\left( x\right))+1l=int(log10(x))+1计算得到，所以列表创建和遍历的时间复杂度为O(log(x))O(log(x))O(log(x))，因此该算法的时间复杂度为O(log(x))O(log(x))O(log(x))

空间复杂度同样为O(log(x))O(log(x))O(log(x))

2.3 数学解析法

虽然上述算法通过列表，避免了直接生成可能溢出的结果值，但是列表法的空间复杂度较高。

在介绍数学解析法之前，我们先考虑一个正数的不会溢出的情况。
假设x=123x=123x=123，那么反转的流程则是：

123//10=12,123%10=3123 // 10 = 12, 123 \% 10 = 3123//10=12,123%10=3
0∗10+3=30*10+3=30∗10+3=3
12//10=1,12%10=212//10=1, 12 \% 10=212//10=1,12%10=2
3∗10+2=323 * 10 + 2 = 323∗10+2=32
1//10=0,1%10=11//10=0,1\%10=11//10=0,1%10=1
32∗10+1=32132 * 10 + 1=32132∗10+1=321

代码如下所示：

rev = 0
while x:x, t = divmod(x, 10) # 上述流程中的1、3、5步骤rev = rev * 10 + t #上述流程中的2、4、6步骤

同样以正数为例：
如果要保证反转后的数值不溢出，那么就需要最后一次执行的rev∗10+t<=INT_MAXrev * 10 + t<= INT\_MAXrev∗10+t<=INT_MAX，这里INT_MAX=231−1INT\_MAX=2^{31}-1INT_MAX=231−1.

我们将INT_MAXINT\_MAXINT_MAX转换为如下形式:
INT_MAX=⌊INT_MAX10⌋×10+7INT\_MAX=\lfloor \dfrac{INT\_MAX}{10}\rfloor ×10 + 7INT_MAX=⌊10INT_MAX⌋×10+7

那么需要：
rev∗10+t<=⌊INT_MAX10⌋×10+7rev * 10 + t<= \lfloor \dfrac{INT\_MAX}{10}\rfloor ×10 + 7rev∗10+t<=⌊10INT_MAX⌋×10+7
经过简单的变换后：
（rev−⌊INT_MAX10⌋）∗10<=7−t（rev-\lfloor \dfrac{INT\_MAX}{10}\rfloor） * 10 <= 7-t（rev−⌊10INT_MAX⌋）∗10<=7−t

当rev>⌊INT_MAX10⌋rev>\lfloor \dfrac{INT\_MAX}{10}\rfloorrev>⌊10INT_MAX⌋时，左边的数值>=10>=10>=10，而右边的0=<t<=90=<t<=90=<t<=9,因此7−t<107-t<107−t<10,所以这个不等式是不成立的；
当rev=⌊INT_MAX10⌋rev=\lfloor \dfrac{INT\_MAX}{10}\rfloorrev=⌊10INT_MAX⌋时，左边的数值=0=0=0，而右边的0=<t<=70=<t<=70=<t<=7时不等式成立，同时可以考虑下，rev=⌊INT_MAX10⌋rev=\lfloor \dfrac{INT\_MAX}{10}\rfloorrev=⌊10INT_MAX⌋，这个xxx的长度应该和INT_MAXINT\_MAXINT_MAX是相同的，而最后一次的ttt则是xxx的最高位,根据题意其是t=1,2t=1,2t=1,2的，所以这个等式是必然成立的。
当rev<⌊INT_MAX10⌋rev<\lfloor \dfrac{INT\_MAX}{10}\rfloorrev<⌊10INT_MAX⌋时，左边的数值<=−10<=-10<=−10，而右边的0=<t<=90=<t<=90=<t<=9,因此−2=<7−t<=7-2=<7-t<=7−2=<7−t<=7,所以这个不等式是成立的；

因此通过以上的分析，当rev<=⌊INT_MAX10⌋rev<=\lfloor \dfrac{INT\_MAX}{10}\rfloorrev<=⌊10INT_MAX⌋时，反转后的数值不会溢出；反之，当rev>⌊INT_MAX10⌋rev>\lfloor \dfrac{INT\_MAX}{10}\rfloorrev>⌊10INT_MAX⌋时，反转后的数值会溢出。

2.3.1 代码

因为INT_MAX=231−1INT\_MAX = 2 ^{31} -1INT_MAX=231−1, 而xxx的下限INT_MIN=−231INT\_MIN=-2^{31}INT_MIN=−231.
而⌊INT_MAX10⌋=⌊∣INT_MIN∣10⌋\lfloor \dfrac{INT\_MAX}{10}\rfloor=\lfloor \dfrac{|INT\_MIN|}{10}\rfloor⌊10INT_MAX⌋=⌊10∣INT_MIN∣⌋，所以我们直接使用rev>⌊23110⌋rev>\lfloor \dfrac{2^{31}}{10}\rfloorrev>⌊10231⌋作为数值溢出的判断条件。

同时首先得到符号值，然后取绝对值，将正数和负数的情况统一为正数情况处理。

def reverse2(x: int) -> int:rev = 0sign = 1max_rev = 2 ** 31 // 10if x < 0:sign = -1x = abs(x)while x:if rev > max_rev:return 0x, t = divmod(x, 10)rev = rev * 10 + treturn rev * sign

时间复杂度同样是O(log(x))O(log(x))O(log(x)),而空间复杂度则只是O(1)O(1)O(1)级别的。

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