图像DFT和DCT的频域真实频率

图像的频率与波长

我们知道图像的空间域和频率域都是离散的。如果用二维DFT进行变换，(x,y)表示空间域坐标，(u,v)表示频率域坐标。以一行为例，那么x,u=0,1,…N-1。
这个N就是图像一行的像素点数。在上一篇博客中介绍了图像空间频率（波数）的概念，也就是单位长度（mm）内图像变化的次数。那么这个u肯定就不是这个概念啦。

我们在数字信号处理里的频率是单位时间转过的周期个数，角频率是单位时间转过的弧度，数字角频率是每隔时间间隔 T s T_s Ts转过的弧度。
对应的图像里的空间频率(波数)是单位长度转过的周期个数，角频率(角波数)是单位长度转过的弧度，数字角频率是每隔空间间隔 L s L_s Ls转过的弧度。

时域频域DFT:设 T s T_s Ts 为时域采样间隔， T T T 为时域周期， f f f为频域基频率(单位时间转过的周期个数)， Ω \Omega Ω为频域基角频率(单位时间转过的弧度)， ω \omega ω为频域基数字角频率(每隔 T s T_s Ts 转过的弧度)
由 e j ω n = e j Ω T s n e^{j\omega n}=e^{j\Omega T_sn} ejωn=ejΩTsn即 ω = Ω T s \omega=\Omega T_s ω=ΩTs
那么有 N T s = T NT_s=T NTs=T 1 N T s = f \frac {1} {NT_s}=f NTs1=f 1 N T s ∗ 2 π = f ∗ 2 π = Ω \frac {1} {NT_s}*2\pi=f*2\pi=\Omega NTs1∗2π=f∗2π=Ω 2 π N = 1 N T s ∗ 2 π ∗ T s = f ∗ 2 π ∗ T s = ω \frac {2\pi} {N}=\frac {1} {NT_s}*2\pi*T_s=f*2\pi*T_s=\omega N2π=NTs1∗2π∗Ts=f∗2π∗Ts=ω
所以我们有
（注：这个N代表的总共的时域点数，Ts是相邻两个时间点的时间间隔，单位是秒，N * Ts是无限长信号截取的一段，以这个为周期进行延拓。
增加N只会增加时域长度和频率分辨率，增加fs才会使得图像更加细腻圆滑，接近连续信号）
时域与频域
时域周期： N T s NT_s NTs
时域采样间隔： T s T_s Ts（可以看成时域基频，单位频率转过的频域周期个数，频域时域又有什么绝对之分呢）
时域采样频率： 1 T s \frac {1} {T_s} Ts1 频域周期

频域周期： 1 T s = f s \frac {1} {T_s}=f_s Ts1=fs , f s f_s fs即时域采样频率
基频率就是频域采样间隔
频域基频率： 1 N T s \frac {1} {NT_s} NTs1
频域基角频率： 2 π N T s \frac {2\pi} {NT_s} NTs2π
频域基数字角频率： 2 π N \frac {2\pi} {N} N2π
频域采样频率：基频率的倒数，一般取 N T s NT_s NTs，即时域周期

图像空间域与频域
设 L s L_s Ls 是一个像素点的宽度，这里仅考虑一维
空域周期： N L s NL_s NLs,也就是图像一行的宽度，由于图像是静止不动的，所以波长等于波速乘以周期不适用，这里周期其实就是波长 λ \lambda λ,与之前博客讲的以下公式一致

空域采样间隔（采样周期）： L s L_s Ls（可以看成空域基频，单位频率转过的频域周期个数）
空域采样频率： 1 L s \frac {1} {L_s} Ls1,即每隔一个像素点的宽度取一个值，用该像素点灰度值表示

频域周期： 1 L s = f s \frac {1} {L_s}=f_s Ls1=fs , f s f_s fs即空域采样频率
基频率就是频域采样间隔
频域基频率： 1 N L s \frac {1} {NL_s} NLs1，对应空间波长为 N L s NL_s NLs
频域基角频率： 2 π N L s \frac {2\pi} {NL_s} NLs2π，对应空间波长也是 N L s NL_s NLs
频域基数字角频率： 2 π N \frac {2\pi} {N} N2π ，对应空间波长为N，即一行像素点个数
频域采样频率：基频率的倒数，一般取 N L s NL_s NLs，即空域周期（波长）
对于图像处理（以像素为单位）
DFT的基频取数字角频率也就是频域采样间隔，是2 π \pi π/N, 也就是说图像空间数字角频率是u × 2 π \times2\pi ×2π/N，就是指每个像素点的角度变化，空间波长 λ \lambda λ=2 π \pi π/ ω \omega ω，就是一个波动周期的像素点数。

如果不是图像信号
我们对空域信号采样，采样周期（采样间隔）为 L s = l e n g t h / N L_s=length/N Ls=length/Nlength是一行的长度，那么采样频率为 f s = 1 / L s = N / l e n g t h f_s=1/L_s=N/length fs=1/Ls=N/length即个数/长度。频域发生[0,fs]的频谱搬移。[0,fs]对应于u（频域空间(u,v)表示）的[0,N-1]的取值范围。即我们在频域[0,fs]的范围内采样采了N个点，那么我们有了DFT的频率分辨率为fs/N= 1 N L s \frac {1} {NL_s} NLs1，即我们求出来的u并不是真实行空间频率，u × \times ×fs/N= u N L s \frac {u} {NL_s} NLsu= u l e n g t h \frac {u} {length} lengthu才是。

而我们知道DFT变换的实部相当于DCT（离散余弦变换），虚部相当于DST（离散正弦变换），即DCT的本质上还是DFT。所以有着一样的频率分辨率。

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