二维绕任意点旋转_解析几何｜对称，平移和旋转

作者：henu_wxj

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来源：牛客网

对称问题就是计算几何中的经典问题，熟练掌握以及应用对称可以使得问题简化，时间复杂度也可能相对减少。

平移和旋转时解析几何中常用的坐标变换方法。坐标变换可能出现在问题中，也可能出现在解题的过程中。

解题时，通过巧妙的平移旋转，可以简化计算，使题目变得更加直观，方便解题。

例如，对于对称图形，只需要计算研究一半的性质，而另一半可利用对称的性质直接得出。

点的对称

点的对称是几何中的基础问题。

在二维平面上，关于原点对称有一种简单的情况，已知点

，&&A，B关于原点对称，那么很容易得出：

；

若点A，B关于点C对称，已知A，B，求点C的坐标。那么

；

Code：

Point SymmetricCoordinates(Point p1,Point p2){Point p3;p3.x=2.0*p2.x-p1.x;p3.y=2.0*p2.y-p1.y;return p3;
}

点关于直线的对称

求点关于直线的对称点，相当于求点关于直线上特定一点的对称点，即关于垂足的对称点。

首先讨论一种特例：点

关于坐标轴的对称点。

易得：关于x轴的对称点为

；关于y轴的对称点为

；

当直线平行于坐标轴时：直线l1：y=a，l2：x=b；

易得：关于l1对称的点为

；

现在讨论一般的直线l：ax+by+c=0；设A'(x,y)，

那么易得：点

在直线l上。且过A和B的直线与l垂直，即乘积-1。

可得计算公式：

和

那么A'坐标即为：

平移

坐标的平移使解析几何中的基础问题，把点A(x,y)沿向量

平移只需把点A的横坐标分别加上向量a的坐标即可。

边的平移可以看作点的平移，两个点向相同方向平移一段距离：

Code：

int Move(double mid){//默认向左平移mid距离for(int i=1;i<=n;++i){Edge2[i].start=Point(Edge[i].start.x+cos(Edge[i].ang+PI/2.0)*mid,Edge[i].start.y+sin(Edge[i].ang+PI/2.0)*mid);Edge2[i].end=Point(Edge[i].end.x+cos(Edge[i].ang+PI/2.0)*mid,Edge[i].end.y+sin(Edge[i].ang+PI/2.0)*mid);}
}

点延向量平移同时可以看作是坐标系延相反的方向平移，这样就可以得到简单图形的坐标平移，即左加右减。

旋转

旋转在几何和线性代数中是描述刚体围绕一个固定点的运动在平面||空间中的变换。

旋转不同于没有固定点的平移和翻转变换。旋转保留任意两点之间的距离在变幻前后不变。

首先给出点坐标的旋转公式：

其中，x，y表示物体相对旋转点旋转到

角度之前的坐标；

表示物体旋转

角后相对于旋转点的坐标。

具有下面几条关系：设A(x,y)绕B(a,b)旋转

度后的位置为C(c,d)。

1.设A点旋转前的角度为

，则旋转（逆时针）到C点后角度为

。

2.求A，B两点的距离：

3.求C，B两点的距离：

4.显然dist1=dist2，设dist1=r，所以：

5.有三角函数两角和公式得：

由此得出：

即旋转后的坐标c，d只与旋转前的坐标x，y和旋转角度

有关。如图：

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