分段函数是不是一定初等函数_分段函数的微积分例题选讲

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一般而言，分段函数是指在不同的定义区间上对应不同的解析式的函数，如果一个函数不是初等函数，就不一定具有初等函数的一些很好的性质，如初等函数在其定义区间上连续等等，这也是为什么老师们在课堂上反复强调分段函数在分段点处要单独讨论的缘故。下面我们从连续性、可导性、可积性以及在其它学科上应用等方面分别举例说明。

一、连续性

函数在一点连续的定义：有定义、有极限、极限值等于函数值，其中函数在某点有极限是指左右极限都存在并且相等。

例1

例2

二、可导性

如何判断函数在某一点是可导的？初等函数同样由很好的可导性，一般在定义区间内(非定义域)可导，故分段函数除了判断各个段区间内函数是否可导外，还要讨论在分段点处是否可导。分段点处用导数定义(左右导数是否存在并相等)求导。

例3

例4

注：x<0时及x>0时，函数的导数是一目了然的，故只需判断分段点处是否可导即可。

三、可积性

“连续一定可积”，即连续函数的原函数一定存在，但闭区间上的有界函数在有有限个第一类间断点的情况下也是可积的。分段函数积分的方法是分区间积分，综合时注意原函数的可导性。

例5

例6

四、应用举例

例7

例8 (概率统计问题，已知概率密度函数，求概率)

关于分段函数的例题非常多，在此不一一列举。高等数学的研究对象不仅仅是初等函数，教材中对分段函数的讨论是常见内容，了解分段函数的概念和微积分特性对学好本课程以及相关课程都是很有必要的。

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