手动计算均值，方差，协方差，皮尔逊系数

项目github地址：bitcarmanlee easy-algorithm-interview-and-practice
欢迎大家star，留言，一起学习进步

1.均值，方差

假设有个数组，一共n个元素，那么均值，方差的计算公式为
均值：
xˉ=1n∑i=1nxi\bar x = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_ixˉ=n1i=1∑nxi

方差(整体方差):
var=1n∑i=1n(xi−xˉ)2var = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar x) ^ 2var=n1i=1∑n(xi−xˉ)2

方差(样本方差):
S=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)2S = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar x) ^ 2S=n−11i=1∑n(xi−xˉ)2

其中，整体方差除的是n，样本方差除的是n-1。

2.协方差与皮尔逊系数

协方差（Covariance）用于衡量两个随机变量的联合变化程度。所以，计算协方差的时候，需要输入两个变量。而方差是协方差的一种特殊情况，即变量与自身的协方差。

cov(X,Y)=∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)n−1cov(X, Y) = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i - \bar x)(y_i - \bar y )}{n-1} cov(X,Y)=n−1∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)

如果分母上除以的是n-1，那么计算的是样本的协方差。如果除以的是n，计算的是整体协方差。

两个变量之间的皮尔逊相关系数为两个变量之间的协方差与标准差的商：
ρx,y=cov(X,Y)σxσy=E[(X−μx)(X−μy)]σxσy\rho_{x,y} = \frac{cov(X,Y)}{\sigma_x \sigma_y} = \frac{E[(X-\mu_x)(X-\mu_y)]}{\sigma_x \sigma_y}ρx,y=σxσycov(X,Y)=σxσyE[(X−μx)(X−μy)]

样本的皮尔逊系数，经常用字母rrr表示：

r=∑i=1n(Xi−X‾)(Yi−Y‾)∑i=1n(Xi−X‾)2∑i=1n(Yi−Y‾)2{\displaystyle r={\frac {\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})(Y_{i}-{\overline {Y}})}{{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(Y_{i}-{\overline {Y}})^{2}}}}}}r=∑i=1n(Xi−X)2∑i=1n(Yi−Y)2∑i=1n(Xi−X)(Yi−Y)

皮尔逊系数r，是一个衡量线性独立的无量纲数，其取值在[－1, 1]之间。如果r=1，表示完全线性相关。如果r=-1，表示完全线性负相关。r=0，即cov值为0，说明两个变量不相关，或者更准确地说叫作“线性无关”、“线性不相关”，表明X 与Y 两随机变量之间没有线性相关性，并非表示它们之间一定没有任何内在的（非线性）函数关系，X、Y二者并不一定是统计独立。

3.代码实现

前面说了这么多理论，接下来我们看具体实现。

import numpy as np
import math
import pandas as pddef t1():a = [5, 6, 16, 9]print(np.mean(a))print()# 整体方差除以nvar = np.var(a)print(var)# 自己计算方差var2 = [math.pow(x-np.mean(a), 2) for x in a]print(np.mean(var2))print()# 样本方差除以n-1sample_var = np.var(a, ddof=1)print(sample_var)print()# 标准差std = np.std(a)std2 = np.std(a, ddof=1)print(std)print(std2)t1()

输出结果：

9.018.5
18.524.6666666666666684.301162633521313
4.96655480858378

下面再看看皮尔逊系数的计算

def t2():a = [i for i in range(10)]b = [2*x + 0.1 for x in a]dic = {"x": a, "y": b}df = pd.DataFrame(dic)print(df)print()print("dfcorr is: ", df.corr())# 手动计算pearson系数n = len(a)abar = sum(a)/float(len(a))bbar = sum(b)/float(len(b))covab = sum([(x-abar)*(y-bbar) for (x, y) in zip(a, b)]) / nstda = math.sqrt(sum([math.pow(x-abar, 2) for x in a]) / n)stdb = math.sqrt(sum([math.pow(y-bbar, 2) for y in b]) / n)print()print(covab)print(stda)print(stdb)print()corrnum = covab / (stda * stdb)print("corrnum is: ", corrnum)t2()

输出结果

   x     y
0  0   0.1
1  1   2.1
2  2   4.1
3  3   6.1
4  4   8.1
5  5  10.1
6  6  12.1
7  7  14.1
8  8  16.1
9  9  18.1dfcorr is:       x    y
x  1.0  1.0
y  1.0  1.016.5
2.8722813232690143
5.7445626465380295corrnum is:  0.9999999999999998

x, y分别是两个变量， y = 2x + 0.1，两者具有完全的线性相关性，所以最后计算出来的pearson系数为1.0。