递归

定义 ：定义一个函数时出现调用本函数的成分，称之为递归

直接递归，自己调自己

间接递归，函数p调函数q，q又调用p

尾递归，递归函数中，递归调用语句是最后一句

递归应满足的条件 ：

需要解决的问题可以转化为一个或多个子问题来求解，而这些子问题的求解方法和原问题完全相同，只是在数量规模上不同

递归次数必须是有限的

必须是有结束递归的条件来终止递归 示例:

// 1.求阶乘问题，2.递归的次数是 n

int fun(int n){

if(n==1) //3. 当满足条件时，递归终止

return 1;

else

return (fun(n-1)*n); //递归调用

}

//因为fun函数是自己调自己所以称之为 直接递归

//又因为递归调用是最后一条语句所以又称为 尾递归

递归存在的问题：

耗费时间和空间，因为每次函数调用需要时间，每一次调用都需要为其开辟一个内存栈用来保留不同的参数，返回地址，临时变量，压栈出栈也需要时间

可能会存在重复计算 比如斐波那契列数列

栈内存可能会溢出

递推(迭代 )

定义：广义来说，凡是在某一算式的基础上从已知的值推出来未知的值，都可以称为递推(说白了 就是找规律)

常见的递归和递推问题

求阶乘问题(递归、递推)

// 递归

int fun(int n){

if(n==1)

return 1;

else

return (fun(n-1)*n);

}

// 递推

int n,s=1;

for(int i=1;i<=n;i++){

s=s*i;

}

斐波那契数列(递归、递推)

fib(n)=1 n=1

fib(n)=2 n=1

fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)

例如：1、1、2、3、5、8、13、21......

// 递归

int Fib(int n){

if(n==1 || n==2)

return 1;

else

return (Fib(n-1)+Fib(n-2));

}

// 递推 求第七项值

int a=1,b=1,c,n=7;

for(int i=1;i<=n;i++){

if(i<=2)

c=1;

else{

c=a+b;

a=b;

b=c;

}

}

printf("%d",c);

汉诺塔问题

n皇后问题

捕鱼问题(递推)

A，B，C，D，E五个渔夫夜间合伙捕鱼，,第二天A先醒来，他把鱼均分五份，把多余的一条扔回湖中，便拿了自己的一份回家了，B醒来后，也把鱼均分五份，把多余的一条扔回湖中，便拿了自己的一份回家了，C,D,E也按同样方法分鱼。问5人至少捕到多少条鱼？

第一种思路：逆推

假如A醒来鱼的总数=5n1+1

那么第B醒来鱼的总数为 4n = 5* n2+1

设当前鱼的总数为 Sn 那么上一次鱼的总数 S(n+1)=Sn/4*5+1

第二种：假如多给四条鱼那么就不用仍了，设总数为 x

A走之后剩下的鱼 x * 4/5

B走之后剩下的鱼 x * 4/5* 4/5

C走之后剩下的鱼 x * 4/5 * 4/5 * 4/5

D走之后剩下的鱼 x * 4/5 * 4/5 * 4/5 * 4/5

E走之后剩下的鱼 x * 4/5 * 4/5 * 4/5 * 4/5 * 4/5=x*1024/3125

鱼一定是整数 所以 x = 3125

减去多给的四条 所以鱼最少为 3121

#include

using namespace std;

int main(){

int f[5],flag=1,n=1;

while(flag==1){

f[0]=5*n+1; //第一次执行是 E醒来鱼的条数

flag=0;

for(int i=1;i<5;i++){

if(f[i-1]%4!=0){ //只有A醒来鱼的总数不是4的倍数，其他人必须都是

flag=1;

break;

}

f[i]=5*f[i-1]/4+1; // 上一个人鱼的总数

}

n++; //试找满足条件的n

}

cout<

return 0;

}

平面分割(递推)

在平面上画n>0条封闭的曲线，各曲线之间两两相交于两点，并且任意三条封闭的曲线都不相交于一点，求这样的n条曲线将平面分成多少个区域？

曲线数n

区域数

1

2

2

4

3

8

4

14

5

22

规律：

2+n*(n-1)

#include

using namespace std;

int main(){

int n,Sn;

while(1){

cin>>n;

if(n==0){

cout<

break;

}

Sn=n*(n-1);

cout<<2+Sn<

}

}

杨辉三角取值问题(递推)

输入：输入n、m代表取的第几行第几列 (n>=m、n>0 m>0)

杨辉三角的性质：第n行第m列的值为 C(n-1)(m-1) 即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。

// 取值问题

include

using namespace std;

int f(int n){

int s=1;

if(n==0)

return 1;

for(int i=1;i<=n;i++){

s=s*i;

}

return s;

}

int main(){

int n,m;

cout<=m)"<

cin>>n>>m;

if(n

cout<

return -1;

}

else{

int a=f(n-1),b=f(n-m)*f(m-1);

cout<

}

}

// 杨辉三角打印问题

#include

using namespace std;

int main(){

int n;

cout<

cin>>n;

int a[100][100];

for(int i=0;i

for(int j=0;j

if(j==0)

a[i][j]=1;

if(i==j){

a[i][j]=1;

break;

}

if(i>=2&&i!=j&&j!=0){

a[i][j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][j];

}

}

}

for(int i=0;i

for(int j=0;j

if(i==j){

cout<