Cards BZOJ 1004
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【问题描述】
小春现在很清闲,面对书桌上的N张牌,他决定给每张染色,目前小春只有3种颜色:红色,蓝色,绿色.他询问Sun有多少种染色方案,Sun很快就给出了答案.进一步,小春要求染出Sr张红色,Sb张蓝色,Sg张绝色.他又询问有多少种方案,Sun想了一下,又给出了正确答案. 最后小春发明了M种不同的洗牌法,这里他又问Sun有多少种不同的染色方案.两种染色方法相同当且仅当其中一种可以通过任意的洗牌法(即可以使用多种洗牌法,而每种方法可以使用多次)洗成另一种.Sun发现这个问题有点难度,决定交给你,答案可能很大,只要求出答案除以P的余数(P为质数).
【输入格式】
第一行输入 5 个整数:Sr,Sb,Sg,m,p(m<=60,m+1<p<100)。n=Sr+Sb+Sg。接下来 m 行,每行描述一种洗牌法,每行有 n 个用空格隔开的整数 X1X2...Xn,恰为 1 到 n 的一个排列,表示使用这种洗牌法,第 i位变为原来的 Xi位的牌。输入数据保证任意多次洗牌都可用这 m种洗牌法中的一种代替,且对每种洗牌法,都存在一种洗牌法使得能回到原状态。
【输出格式】
不同染法除以P的余数
【样例输入】
1 1 1 2 7
2 3 1
3 1 2
【样例输出】
2
【样例解释】
有2种本质上不同的染色法RGB和RBG,使用洗牌法231一次可得GBR 和BGR,使用洗牌法312一次可得BRG和GRB。
【数据范围】
100%数据满足:Max{Sr,Sb,Sg}<=20。
题解:
Burnside引理:用D(ai)表示在置换ai下不变的元素个数。L表示本质不同的方案数。G表示置换群。|G|表示置换群的大小。
置换群简单地讲就是给定置换,所有置换的置换所组成的集合就是置换群
举个例子:
4个置换组成的置换群:
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
假设我们有2种颜色用0与1表示
第一种:所有方案都不变,D(a1) = 16
第二种:0000、1111,D(a2) = 2
第三种:0000、1111、0101、1010,D(a3) = 4
第四种:0000、1111,D(a4) = 2
那么 L = (16 + 2 + 4 + 2) / 4 = 6
这就是本质不同的方案数
题目中已经保证给出所有置换中,只要加上一个不变的置换就能得到置换群
显然置换可以拆成多个轮换相乘
所以对每种轮换内的元素进行同种颜色的染色,那么轮换中的颜色经过此置换仍然不变
那么用一个01背包,就可以求出在一个置换下不变的元素个数
然后有模数,所以用逆元求一下分母
1 #include<algorithm> 2 #include<iostream> 3 #include<cstring> 4 #include<cstdlib> 5 #include<cstdio> 6 #include<cmath> 7 using namespace std; 8 inline int Get() 9 { 10 int x = 0; 11 char c = getchar(); 12 while('0' > c || c > '9') c = getchar(); 13 while('0' <= c && c <= '9') 14 { 15 x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0'; 16 c = getchar(); 17 } 18 return x; 19 } 20 const int me = 123; 21 int r, b, g, m, p, n, t; 22 bool vis[me]; 23 int a[me]; 24 int si[me]; 25 int num; 26 long long ans; 27 long long f[me][me][me]; 28 inline long long Pow(long long x, int y) 29 { 30 long long res = 1; 31 long long sum = x % p; 32 while(y) 33 { 34 if(y & 1) res = (res * sum) % p; 35 sum = (sum * sum) % p; 36 y >>= 1; 37 } 38 return res; 39 } 40 int main() 41 { 42 r = Get(), b = Get(), g = Get(), m = Get(), p = Get(); 43 n = r + b + g; 44 ++m; 45 t = m; 46 while(m--) 47 { 48 num = 0; 49 memset(f, 0, sizeof(f)); 50 memset(si, 0, sizeof(si)); 51 memset(vis, false, sizeof(vis)); 52 for(int i = 1; i <= n; ++i) 53 { 54 if(m) a[i] = Get(); 55 else a[i] = i; 56 } 57 for(int i = 1; i <= n; ++i) 58 { 59 if(!vis[i]) 60 { 61 int c = a[i]; 62 ++num; 63 while(!vis[c]) 64 { 65 vis[c] = true; 66 ++si[num]; 67 c = a[c]; 68 } 69 } 70 } 71 f[0][0][0] = 1; 72 for(int i = 1; i <= num; ++i) 73 for(int j = r; j >= 0; --j) 74 for(int k = b; k >= 0; --k) 75 for(int l = g; l >= 0; --l) 76 { 77 if(j >= si[i]) f[j][k][l] = (f[j][k][l] + f[j - si[i]][k][l]) % p; 78 if(k >= si[i]) f[j][k][l] = (f[j][k][l] + f[j][k - si[i]][l]) % p; 79 if(l >= si[i]) f[j][k][l] = (f[j][k][l] + f[j][k][l - si[i]]) % p; 80 } 81 ans = (ans + f[r][b][g]) % p; 82 } 83 printf("%lld", (ans * Pow(t, p - 2)) % p); 84 }
转载于:https://www.cnblogs.com/lytccc/p/6479599.html
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