张乃中初等工作室(‍znzms100)致力于培养广大中小学生对学习数学的兴趣，开启学习数学的心智；感受数学的严密和完美，享受探究数学的奥秘之乐趣。根据中小学生的不同状况量身定制不同的培优计划和学习内容，提高学生数学成绩于无形。

一、实数运算与二次根式

引入无理数后，数系扩充到实数，实现了与数轴上的点一一对应的关系，所以7年级有关有理数运算的各种题型又会“卷土重来”，二次根式的双重非负性使得非负数的“家族”又添新成员。

【例1】a、b的位置如图，则下列各式有意义的是(   )

【解析】原点位置不清楚，a，b正负分不清，只能从位置判断b＜a，a-b＞0，故选B。

【解析】两个非负数之和为0，则这两个非负数必须都为0，故a=5/2，b=-2，ab=-5.

【例3】下列四个命题中，正确的是(  )

A、数轴上任意一点都表示唯一的一个有理数；

B、数轴上任意一点都表示唯一的一个无理数；

C、两个无理数之和一定是无理数；

D、数轴上任意两个点之间还有无数个点。

【解析】有理数之间的加减乘除(除数不为0)后的数都是有理数，这一点无理数与之不同，无理数之间的加减乘除后的结果都不一定是无理数；数轴上的点与实数一一对应，故选D。

【解析】设x=2018，

则2017×2018×2019×2020+1

=(x-1)x(x+1)(x+2)+1

=(x-1)(x+2)·x(x+1)+1

=[(x²+x)-2]·(x²+x)+1

=(x²+x)²-2(x²+x)+1

=(x²+x-1)²，

∴P=x²+x-1-x²

=x-1=2017

【解析】将a直接代入原式计算则计算量太大，非智者所为，故先将已知条件变形，再用“降幂法”化简求解：

(二)勾股定理的出现为求任意线段长度提供了宝贵工具，是初等数学史上划时代意义的定理，国际上称为“毕达哥拉斯”定理。因勾股定理而推动了无理数的出现，例如，当正方形边长为1时，对角线的长度为√2，从而推动了有理数向实数扩充。

勾股定理的应用有两个方面：(1)已知是直角三角形，对三条边可“知二推一”，或已知某锐角角度，可知一推三；(2)对已知三条边的三角形可通过勾股定理来判断为何种三角形(锐角三角形，直角三角形，钝角三角形)；

运用勾股定理要注意以下两点：

(1)必须首先判断出斜边；(2)两种变形：①c²-a²=b²，②c²-b²=a²，这样变形的好处是方便用平方差公式来计算。

【例9】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，AB=c，BC=a，AC=b，斜边AB上的高CD=h。

【解析】(1)由面积法可知：hc=ab，

故以a+b，h，h+c为三条边的三角形为直角三角形，且斜边为c+h。

【例10】图1所示的正方体木块，棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)锯掉一角，得到如图2所示的几何体，一只蚂蚁沿着图2的几何体表面从顶点S爬到顶点R的最短距离为_______。

【解析】最短路径有两种展开方法：

1、如图2-1，取AB中点M，连接SM、RM，易知AB=BS=AS=6√2，

∴RM=3√2cm，SM=3√6cm，

∴RM+SM=3(√2+√6)cm；

2、如图2-2，将左侧正方形展开到正面，连接SR，根据勾股定理：

RS=6√5cm；

与第一种路径相比：

∵√2+√6＜5，3√5＞5

∴√2+√6＜3√5

∴3(√2+√6)＜6√5

综上所述，从顶点S爬到顶点R的最短距离为3(√2+√6)cm。

【例11】如图，在等边△ABC内有一点P，且PA=4，PB=3，PC=5，求∠APB的度数。

【解析】三角形内部的点的题型，一般方法是通过“旋转”将分散的三条线段(PA、PB、PC)放到同一个三角形中来判断其形状。

将△BPC绕点B按逆时针旋转60º，使点C与点A重合，点P落到点Q处(如图11-1)

则△BPQ为等边三角形，PQ=BP=3，AQ=PC=5，根据勾股定理得逆定理可知，△AQP是以AQ为斜边的直角三角形。

∴∠APQ=90º，又∠BPQ=60º，

∴∠APB=150º。

三、几何模型反映到直角坐标系中

【例12】直线y=x/2+4与x轴交于点B，与直线y=2x-1交于点A，直线y=2x-1交y轴于点C，点D为OB的中点，点E为线段AB上一点，点F为线段AC上一点，是否存在点E、F，使得△DEF为以DF为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点E、F的坐标；若不存在，说明理由。

【解析】第一步：求点B的坐标，令y=0，得x=-8，因为点D为OB中点，所以D(-4，0)；

第二步：求点A的坐标，联立方程组：

y=x/2+4

y=2x-1

解得：x=10/3，y=17/3，即A(10/3,17/3)；

第三步：建立“三垂直模型”，构建全等三角形，设E、F的坐标，列出方程组：

过点E作ER∥x轴，分别过点D、F作ER的垂线，分别交ER于点T、R，根据“三垂直模型”的特点：△TDE≌△REF，得：TD=ER，TE=RF；

设E(e，e/2+4)，F(f，2f-1)，则：

e/2+4=f-e

e+4=e/2+4-(2f-1)

解得：e=-2，f=1

∴E (-2，3)，F(1，1)

【注】当直角坐标系中出现“等腰直角三角形”时，多半要构造“三垂直模型”。

【例13】(直角坐标系+手拉手+瓜豆原理)如图，在平面直角坐标系中，A(0，3)，点P为x负半轴上一动点，以AP为边向下作等边三角形PAQ，当点P在原点时，点Q在点B的位置。(1)求点B的坐标；(2)试说明点Q的运动轨迹，并求AQ的最小值。

【提示】(1)B(3√3/2，3/2)；

(2)△AOB和△APQ构成“手拉手模型”，故存在全等三角形：

△ABQ≌△AOP，故∠ABQ=90º，

∵A、B为固定点，∴BQ为固定直线，

即点Q在固定直线上移动，AQ的最小值为点A到中线BQ的距离AB=3.

【注】此题为“直线轨迹型”的“瓜豆原理”，主动点为点P，从动点为点Q，当点P在直线上运动时，点Q的运动轨迹也是一条直线，此题型近年来出现较为频繁。

【例11】(将军饮马+直角坐标系)已知四边形OABC是边长为4的正方形，分别以OA、OC所在的直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，直线L经过A、C两点。如图2，若点D是OC的中点，E是直线L上的一个动点，求使得OE+DE取得最小值时点E的坐标。

【解析】这是一个“将军饮马”模型，点O关于直线l的对称点为点B，连接DB，与l的交点为所求点E。

点B的坐标(4，4)，D(0，2)，

直线DB的解析式为：y=x/2+2，

l的解析式：    y=-x+4，

联立方程组，解得：x=4/3，y=8/3,

故E(4/3，8/3)。

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