三门问题与神奇的贝叶斯大脑

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三门问题，也叫蒙提霍尔问题（Monty Hall Problem）

以电视节目 - Let's make a deal的主持人蒙提霍命名的一个反直觉问题。

游戏简介

假设有3个门。其中一个后面藏着宝藏，其余2个都是空门(美国节目中1个后面有汽车，其余的2个是山羊）。

游戏开始：

首先你先选择一张门，

选好后，主持人帮你在其余2扇没有被选择的门中打开一扇没奖的门。

这时候你有一个选择权，换门还是不换门？

直觉上换不换几率都是50%，那到底几率是多少？换是不是得奖的机会大一些？

Mueser 和 Granberg 透过厘清细节，以及对主持人的行为加上明确的介定，提出了对这个问题的一种不含糊的陈述︰

现在有三扇门，只有一扇门有汽车，其余两扇门的都是山羊。
汽车事前是等可能地被放置于三扇门的其中一扇后面。
参赛者在三扇门中挑选一扇。他在挑选前并不知道任意一扇门后面是什麽。
主持人知道每扇门后面有什么。
如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。
如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人等可能地在另外两扇有山羊的门中挑一扇门。
参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一扇门。

转换选择可以增加参赛者拿到汽车的机会吗？

你可以在可汗学院上学习相应的内容：

https://www.khanacademy.org/math/precalculus/prob-comb/dependent-events-precalc/v/monty-hall-problem

下面我们分别用Matlab和Python来实现解答这个问题：

Matlab：

trials = 1000;

% 首先你随机从1，2，3个门和隐藏的车中做随机的选择。

car_door = randi(3,trials,1);

% 你做一个猜测选择一个门，那个地方有一个车

choice = randi(3,trials,1);

% 让我们看一下前五次的选择

T = table(car_door,choice);

disp(T(1:5,:))

%Monty 打开一个未选择的门，并显示一只山羊。如果车门和选择的门不同，

%Monty 只有一个选择。

goat_door = zeros(trials,1);
goat_door(car_door + choice == 3) = 3;
goat_door(car_door + choice == 4 & car_door ~= choice) = 2;
goat_door(car_door + choice == 5) = 1;
goat_door(goat_door == 0 & choice == 1)= randsample([2,3],1);
goat_door(goat_door == 0 & choice == 2) = randsample([1,3],1);
goat_door(goat_door == 0 & choice == 3) = randsample([1,2],1);

T = table(car_door,choice,goat_door);

disp(T(1:5,:))

  car_door    choice    goat_door________    ______    _________3           2         1        3           2         1        1           3         2        3           1         2        2           2         3

simulation = zeros(3,1);

simulation(1) = sum((car_door - choice) == 0)/trials*100;

fprintf('Win Rate if stick to your original choice: %.2f%%\n',simulation(1))

Win Rate if stick to your original choice: 33.70%

我们看看如何能把胜率提高呢？

switch_choice = zeros(trials,1);
switch_choice(goat_door + choice == 3) = 3;
switch_choice(goat_door + choice == 4) = 2;
switch_choice(goat_door + choice == 5) = 1;

我们更新一个算法来解决这个问题。

T = table(car_door,choice,goat_door,switch_choice);
disp(T(1:5,:))simulation(3) = sum((car_door - switch_choice) == 0)/trials*100;
fprintf('Win Rate if switch your choice: %.2f%%\n',simulation(3))

    car_door    choice    goat_door    switch_choice________    ______    _________    _____________3           2         1            3            3           2         1            3            1           3         2            1            3           1         2            3            2           2         3            1
Win Rate if switch your choice: 66.30%

这个胜率怎么提高的呢？

这是我们最熟悉的公式了。

P(H)

汽车隐藏在三个门后的任意一个，你选择了门1.门1是车门的概率是1/3。这是先验的，或P（H）。

prior = ones(3,1)*1/3

prior =0.333330.333330.33333如果汽车在门1后面，那么蒙蒂可以选择门2或3。
所以他选择门2的可能性是1/2。
如果汽车行为门2，那么蒙蒂不能选择它。
所以概率是0.困惑？ 我将在下面回顾这个例子。
如果汽车在门3后面，那么蒙蒂不得不选择门2.
所以他选择门2的可能性是1。

P(E|H)

likelihood = [1/2;0;1]

likelihood =0.501

joint_prob = likelihood .* prior

joint_prob =0.1666700.33333

在这一点上，您可以坚持使用您的原始选择或开关。我的直觉是，这将是一个50/50的命题。如果你选择留下来，这里是模拟胜率。

simulation = zeros(3,1);
simulation(1) = sum((car_door - choice) == 0)/trials*100;
fprintf('Win Rate if stick to your original choice: %.2f%%\n',simulation(1))

后验P（H | E）应该非常接近模拟结果。

posterior = joint_prob/sum(joint_prob);
compare = table(posterior,simulation,'RowNames',{'Stay','N/A','Switch'});
disp(compare([1 3],:))

              posterior    simulation_________    __________Stay      0.33333      33.7      Switch    0.66667      66.3

下面我们看下python在这个问题上的解决：

1.这个可以用 random.randint来实现。 randint(start, end, size）随机选择的3个门中间的一个

1 def simulate_prizedoor(nsim):2 return np.random.randint(0, 3, (nsim))

2.然后我们可以定义下，一开始选择的一扇门。这里可以用固定选择法，也可以用随机法，数据大的情况下差别不大。这里我们直接用了固定选择第一扇门（0）

1 def simulate_guess(nsim):2 return np.zeros(nsim, dtype=np.int)

3.然后我们模拟主持人，开一扇没有奖品的门。

1 def goat_door(prizedoors, guesses):2     result = np.random.randint(0, 3, prizedoors.size)3     while True:4         bad = (result == prizedoors) | (result == guesses)5         if not bad.any():6             return result7         result[bad] = np.random.randint(0, 3, bad.sum())

这里要实现的逻辑是，先生成一个0到2的随机数。然后匹配直到不等于我们一开始的选择的那扇门或宝藏存在的那扇门。

4.然后模拟，我们假如我们在主持人打开门之后，选择换一张门。

1 def switch_guess(guesses, goatdoors):2     result = np.random.randint(0, 3, guesses.size)3     while True:4         bad = (result == guesses) | (result == goatdoors)5         if not bad.any():6             return result7         result[bad] = np.random.randint(0, 3, bad.sum())

看得出来实现的代码和上面是一样的。我们换的这扇门，不能是原来那扇，而且也不能是开了的那扇。

5.计算胜率。

1 def win_percentage(guesses, prizedoors):2     return 100 * (guesses == prizedoors).mean()

这里需要注意，如果单纯的bool type的数据是没有mean这个函数的。 np 把真假转换成了1，0这样才可以计算平均数。mean = 总值/数组的总数

6.最后我们就可以测试下，换和不换的区别了。因为大数定律，我们测试100000遍

 1 pd = simulate_prizedoor(nsim) 2 guess = simulate_guess(nsim) 3 goats = goat_door(pd, guess) 4 guess = switch_guess(guess, goats) 5 nsim = 100000 print "Win percentage when keeping original door"
print win_percentage(simulate_prizedoor(nsim), simulate_guess(nsim))          print "Win percentage when switching doors"
print win_percentage(pd, guess).mean()

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