三维空间几何坐标变换矩阵

第7章 三维变换 7.1 简介 7.2 三维几何变换 7.3 三维坐标变换 7.1 简介 三维平移变换、比例变换可看成是二维情况的直接推广。但旋转变换则不然，因为我们可选取空间任意方向作旋转轴，因此三维变换处理起来更为复杂。 与二维变换相似，我们也采用齐次坐标技术来描述空间的各点坐标及其变换，这时，描述空间三维变换的变换矩阵是4×4的形式。 由此，一系列变换可以用单个矩阵来表示。 7.2 三维几何变换 7.2.1 基本三维几何变换 1. 平移变换 若空间平移量为(tx, ty, tz)，则平移变换为 P(x,y,z) ? P’(x’,y’,z’) x y z 补充说明：点的平移、物体的平移、多面体的平移、逆变换 2. 比例变换 (1) 相对坐标原点的比例变换 一个点P=(x,y,z)相对于坐标原点的比例变换的矩阵可表示为 x y z 其中 为正值。 (2) 相对于所选定的固定点的比例变换 z x y ? (xf,yf,zf) z x y ? (xf,yf,zf) z x y ? (xf,yf,zf) z x y ? (xf,yf,zf) (1) (2) (3) 3. 绕坐标轴的旋转变换 三维空间中的旋转变换比二维空间中的旋转变换复杂。除了需要指定旋转角外，还需指定旋转轴。 若以坐标系的三个坐标轴x,y,z分别作为旋转轴，则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。此时用二维旋转公式就可以直接推出三维旋转变换矩阵。 规定在右手坐标系中，物体旋转的正方向是右手螺旋方向，即从该轴正半轴向原点看是逆时针方向。 (1)绕 z 轴旋转 x x x y y y z z z (2)绕 x 轴旋转 (3)绕 y 轴旋转 绕 z 轴旋转 绕 x 轴旋转 绕 y 轴旋转 旋转，则该轴坐标的一列元素不变。按照二维图形变换的情况，将其旋转矩阵 中的元素添入相应的位置中，即 对于单位矩阵 旋转变换矩阵规律: ，绕哪个坐标轴 (1) 绕z轴正向旋转 角，旋转后点的z坐标值不变, x、y 坐标的变化相当于在xoy平面内作正 角旋转。 (2)绕x轴正向旋转 角，旋转后点的x坐标值不变， Y、z坐标的变化相当于在yoz平面内作正 角旋转。 即 这就是说，绕y轴的旋转变换的矩阵与绕x轴和z轴变换的矩阵从表面上看在符号上有所不同。 (3) 绕y轴正向旋转 角，y坐标值不变，z、x的坐标相当 于在zox平面内作正 角旋转，于是 7.2.2 组合变换 物体绕平行于某一坐标轴的旋转变换。基本步骤: (1) 平移物体使旋转轴与所平行的坐标轴重合; (2) 沿着该坐标轴进行指定角度的旋转; (3) 平移物体使旋转轴移回到原位置。 x y z x y z (a) (b) y x z (c) x z (d) 绕任意轴旋转的变换 (1)平移物体使旋转轴通过坐标原点; x y z P1 ? ? P2 x y z P’1 ? ? P’2 (1) (2)旋转物体使旋转轴与某个坐标轴(如z轴)重合; (3)关于该坐标轴进行指定角度的旋转; x y z P’1 ? ? P2’’ (2) y x z P’1 ? ? P2’’ (3) (4) 应用逆旋转变换将旋转轴回到原方向; (5) 应用逆平移变换将旋转轴变换到原位置。 x y z P’1 ? ? P’2 (4) x y z P1 ? ? P2 (5) 例. 求变换AV，使过原点的向量V=(a,b,c)与z轴的正向一致。 x y z V x y z 实现步骤: (1)将V绕x轴旋转到xz 平面上; (2)再绕y轴旋转使之与z轴正向重合。 旋转角度的确定：绕x轴旋转的角度 等于向量V在yz 平面上的投影向量与z 轴正向的夹角。 x y z V=(a,b,c) V1=(0,b,c) V’ V’ 根据矢量的点乘与叉乘，可以算出: 因此， 类似地，可以求出: 利用这一结果，则绕任意轴旋转的变换矩阵可表示为： x y z P1 ? ? P2 x y z P’1 ? ? P’2 1) T x y z P’1 ? ? P2’’ 2) x z P’1 ? ? P2’’ 3) 给定具有单位长的旋转轴A=[ax,ay,az]和旋转角 ， 则物体绕OA轴旋转变换的矩阵表示可确定如下： A ? ? 轴角旋转 7.2.3 绕任意轴旋转变换的简单算法 x y z o 其中 表示M的转置矩阵。 利用这一结果，则绕任意轴旋转的变换矩阵可表示为： 传统的方法通过绕坐标轴旋转变换的乘积表示绕任意轴旋转的变换。与之相比，这种方法更直观。 x y z P1 ? ? P2 x y z P’1 ? ? P’2