证明厄米矩阵不同特征值对应特征向量正交
证明厄米矩阵不同特征值对应特征向量正交
解：
厄米矩阵满足：
U=U†U = U^{\dagger} U=U†
设UUU为厄米矩阵，V1,V2V_1,V_2V1,V2为特征向量，有：
UV1=λ1V1UV2=λ2V2∴V2†UV1=V2†λ1V1=λ1V2†V1,V2†UV1=(U†V2)†V1=(UV2)†V1=λ2V2†V1∴λ1V2†V1=λ2V2†V1∵λ1≠λ2∴V2†V1=0U V_1 = \lambda_1 V_1 \\ U V_2 = \lambda_2 V_2 \\ \therefore V_2^{\dagger}U V_1 = V_2^{\dagger} \lambda_1 V_1 = \lambda_1 V_2^{\dagger} V_1, \\ V_2^{\dagger}U V_1 = (U^{\dagger}V_2)^{\dagger}V_1 = (U V_2)^{\dagger}V_1=\lambda_2 V_2^{\dagger}V_1 \\ \therefore \lambda_1 V_2^{\dagger} V_1 = \lambda_2 V_2^{\dagger}V_1 \\ \because \lambda_1 \neq \lambda_2 \\ \therefore V_2^{\dagger} V_1 = 0 UV1=λ1V1UV2=λ2V2∴V2†UV1=V2†λ1V1=λ1V2†V1,V2†UV1=(U†V2)†V1=(UV2)†V1=λ2V2†V1∴λ1V2†V1=λ2V2†V1∵λ1=λ2∴V2†V1=0
原命题证毕.
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