利用计算机程序快速得到9*9大小数独的解法

对于 9∗99*99∗9 大小的数独游戏，我们可以使用回溯法求得其正确的解，但是，一般的回溯法实现这个过程保证不了时间复杂度，所以我们可以利用二进制压缩的方法来优化其过程。

具体思路如下：

明确数独的约束：

相同一行不能出现重复的数
相同一列不能出现重复的数
同一宫内不能出现重复的数

定义row[i]row[i]row[i]数组代表，第i,ji,ji,j位置，在 iii 行哪些数被占用，用二进制 111 表示没有被占用，000 表示被占用那么最开始 row[i]row[i]row[i] = 111111111111111111111111111，表示行没有数被占用。

定义col[j]col[j]col[j]数组代表，第i,ji,ji,j位置，第 jjj 列哪些数被占用，用二进制 111 表示没有被占用，000 表示被占用，那么最开始col[i]col[i]col[i] = 111111111111111111111111111，表示列没有数被占用。

定义cell[i/3][j/3]cell[i/3][j/3]cell[i/3][j/3]数组代表，第 i,ji,ji,j 格所在的宫中那些数被占用，用二进制 111 表示没有被占用，000 表示被占用，那么最开始cell[i/3][j/3]cell[i/3][j/3]cell[i/3][j/3] = 111111111111111111111111111，表示宫中没有数被占用。

然后我们需要初始化上面三个数组，因为一开始的数独游戏位置被一些数占用了，那么这些数的位置就会影响row[i],col[j],cell[i][j]row[i],col[j],cell[i][j]row[i],col[j],cell[i][j]的二进制数，我们需要把相应的数，在二进制数的响应位改变成0，表示这个数在此列或行或宫被占用了。

然后我们利用位运算&对三个数组进行&，就可以得到三个数组都没有被占用的数，然后从其中挑选数，进行回溯法即可得到数独的解。

注意要熟悉：lowbit()lowbit()lowbit()的用法，是取二进制数第一次出现111时的大小，例如100100100100100100，这个数的lowbit()lowbit()lowbit()就是100100100,在这个程序中他用来取&后的数字的二进制可用数是多少，这个可用数我们也提前预处理，映射到了map[]map[]map[]数组里，然后这个还有一个贪心策略，即当可用数越少答案就越确定，我们用ones[]ones[]ones[]数组记录一下所有可出现状态的1的数量，1的数量少代表当前位置越确定，这个可以对程序执行很大的优化。

下面以一个数独游戏为例：
被解决的数独游戏：

程序跑出的解：
输入的时候空位置用.代替即可

可执行代码：

#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 9;
int row[N], col[N], cell[3][3], ones[1 << N], map[1 << N], cnt;
char s[N][N];
inline int lowbit(int x) {return (x & -x);
}
inline void init() {for (int i = 0; i < N; i++)row[i] = col[i] = (1 << N) - 1;for (int i = 0; i < 3; i++)for (int j = 0; j < 3; j++)cell[i][j] = (1 << N) - 1;
}
inline int get(int x, int y) {return row[x] & col[y] & cell[x / 3][y / 3];
}
bool dfs(int cnt) {if (!cnt)return true;int x, y, mav = 10;for (int i = 0; i < N; i++) {for (int j = 0; j < N; j++) {if (s[i][j] == '.') {int t = ones[get(i, j)];if (mav > t) {mav = t;x = i, y = j;}}}}for (int i = get(x, y); i; i -= lowbit(i)) {int t = map[lowbit(i)];row[x] -= 1 << t;col[y] -= 1 << t;cell[x / 3][y / 3] -= 1 << t;s[x][y] = '1' + t;if (dfs(cnt - 1))return true;row[x] += 1 << t;col[y] += 1 << t;cell[x / 3][y / 3] += 1 << t;s[x][y] = '.';}return false;
}
int main() {for (int i = 0; i < N; i++)map[1 << i] = i;for (int i = 0; i < (1 << N); i++) {int k = 0;for (int j = i; j; j -= lowbit(j)) {k++;}ones[i] = k;}while (true) {for (int i = 0; i < N; i++)cin >> s[i];init();cnt = 0;for (int i = 0; i < 9; i++) {for (int j = 0; j < 9; j++) {if (s[i][j] != '.') {int t = s[i][j] - '1';row[i] -= 1 << t;col[j] -= 1 << t;cell[i / 3][j / 3] -= 1 << t;} else {cnt++;}}}dfs(cnt);for (int i = 0; i < N; i++) {for (int j = 0; j < N; j++) {cout << s[i][j] << ' ';}cout << endl;}}return 0;
}

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