常见混沌系统—Lorenz模型

1963年，Lorenz发现了第一个混沌吸引子——Lorenz系统，从此揭开了混沌研究的序幕。

概念

在数学中，一个动力系统被称为自治的，当且仅当这个系统由一组常微分方程组成，并且这些方程的表达式与动力系统的自变量无关。在有关物理的动力系统中，自变量通常是时间。这时自治系统通常表示其中的物理规律不再随时间变化的系统，也就是说空间中每一点的性质在过去、现在和将来都是一样的。自治系统是动力系统中很重要的一个组成部分。理论上来说，所有的动力系统都可以转化为自治系统。对于自治微分系统来说，要出现混沌现象，其维数必须要大于2.典型的一个例子就是Lorenz模型，它是由美国气象学家Lorenz在研究大气运动的时候，通过对对流模型简化，只保留三个变量提出的一个完全确定性的三阶自治常微分方程组，其方程形式如下：
{dxdt=σ(y−x)dydt=ρx−y−xzdzdt=xy−βz{} \left\{ \begin{array}{lr} \frac{dx}{dt} =\sigma(y-x) \\ \frac{dy}{dt}=\rho x -y -xz \\ \frac{dz}{dt}=xy-\beta z \end{array} \right . {} ⎩⎨⎧dtdx=σ(y−x)dtdy=ρx−y−xzdtdz=xy−βz
其中，三个参数分别为：σ\sigmaσ为普朗特数，ρ\rhoρ是瑞利数，β\betaβ是方向比。

Lorenz模型已经成为混沌领域的经典模型，系统中三个参数的选择对系统会不会进入混沌状态起着重要的作用。

混沌图像

如图给出了Lorenz模型在 σ=10,ρ=28,β=8/3\sigma=10,\rho=28,\beta=8/3σ=10,ρ=28,β=8/3时系统的三维演化轨迹。

由图可见，经过长时间运行后，系统只在三维空间的一个有限区域内运动，系统在此区域中的运动是混沌状态。我们从两个靠的很近的初值条件出发（zt只相差0.0001）给出了x(t)轨道的演化图如下

随着时间的演化，可以看到原本靠得很近的轨道迅速地分开，最后两条轨道变得毫无关联，这正是动力学系统对初值敏感性的直观表现，因此我们说此系统的这种状态为混沌态。

实验代码（python）

import matplotlib.pyplot as plt
#绘制三维图像
import mpl_toolkits.mplot3d as p3d'''
Lorenz吸引子生成函数
参数为三个初始坐标，三个初始参数,迭代次数
返回三个一维list
'''
def Lorenz(x0,y0,z0,p,q,r,T):#微分迭代步长h=0.01x=[]y=[]z=[]for t in range(T):xt=x0+h*p*(y0-x0)yt=y0+h*(q*x0-y0-x0*z0)zt=z0+h*(x0*y0-r*z0)#x0、y0、z0统一更新x0,y0,z0=xt,yt,ztx.append(x0)y.append(y0)z.append(z0)return x,y,zdef main():#设定参数p=10q=28r=8/3#迭代次数T=10000#设初值x0=-16y0=-21z0=33# fig=plt.figure()# ax=p3d.Axes3D(fig)x,y,z=Lorenz(x0,y0,z0,p,q,r,T)ax=plt.subplot(121,projection="3d")ax.scatter(x,y,z,s=5)ax.set_xlabel('x(t)')ax.set_ylabel('y(t)')ax.set_zlabel('z(t)')ax.set_title('x0=-16 y0=-21 z0=33')# plt.axis('off')#消除网格ax.grid(False)#初值微小的变化x0=-16y0=-21z0=33.00001xx,yy,zz=Lorenz(x0,y0,z0,p,q,r,T)ax=plt.subplot(122,projection="3d")ax.scatter(xx,yy,zz,s=5)ax.set_xlabel('x(t)')ax.set_ylabel('y(t)')ax.set_zlabel('z(t)')ax.set_title('x0=-16 y0=-21 z0=33.00001')ax.grid(False)plt.show()t=np.arange(0,T)plt.scatter(t,x,s=1)plt.scatter(t,xx,s=1)plt.show()if __name__=='__main__':main()

扩展

吸引子是状态空间中的一个子集，从其中任意点出发的系统轨迹全都包括在其中。

参考

Lorenz混沌吸引子以及初始条件敏感性和不敏感性

几个混沌系统时间序列数据的Matlab程序